Сходимость нелинейных образов мер по вариации

• Автор: Александрова, Дарья Евгеньевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 58 с.

ГЛАВА 1. Сходимость образов мер

1.1. Обозначения и терминология

1.2. Сходимость образов мер при слабо дифференцируемых отображениях

1.3. Приложения

ГЛАВА 2. Сходимость треугольных отображений

2.1. Существование треугольных преобразований

2.2. Сходимость канонических треугольных преобразований

мер, сходящихся по вариации

Литература

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Нелинейные преобразования и различного рода сходимость мер играют важную роль во многих задачах функционального анализа, теории вероятностей и теории случайных процессов. Изучение этих объектов было начато более чем полвека назад в классических трудах А.Н. Колмогорова, А.Д. Александрова, H.H. Боголюбова, Н.М. Крылова, Дж. фон Неймана, Л.В. Канторовича, Ю.В. Прохорова, A.B. Скорохода и других исследователей. Особенно здесь можно отметить работы 1>2>3' . Подробный историко-библиографический обзор дан в книге0. В настоящее время активные исследования в этом направлении продолжаются, обогащая взаимодействующие области математики.
Можно выделить следующие два общих вопроса нелинейной теории меры, с которыми так или иначе связано множество самых разных более специальных задач. Пусть дана последовательность измеримых отображений Fj на пространстве с мерой ц. Будут ли индуцированные меры /у, о АД1 сходиться в каком-то смысле? Многие задачи нелинейного анализа и теории вероятностей приводят к рассмотрению слабой сходимости мер, однако весьма важен и случай более сильной сходимости по вариации, причем этот случай гораздо менее изучен; ряд важных результатов получен здесь в связи с предельными теоремами теории вероятностей6’'
1 Александров А.Д. О поверхностной функции выпуклого тела. Матем. сб., 1939, т. 6(48), в. 1, 167-174.

Bogoliouboff N.N., Kryloff N.M. La théorie générale de la mesure dans son application à l’étude de systèmes dynamiques de la mécanique non-linéaire. Ann. Math., 1937, B. 38, 65-113.
^Канторович Л.В. О перемещении масс. ДАН СССР, 1942, т. 37, в. 7-8, 227-229.
^Прохоров Ю.В. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей. Теория верояти. и ее примет, 1956, т. 1, в. 2, 177-238.
“Шогачев В.И. Основы теории меры. Т. 1,2. 2-е изд. РХД, Москва-Ижевск, 2006.
^ Давыдов Ю.А., Лифшиц М.А., Смородина Н.В. Локальные свойства распределений стохастических функционалов. Физматлит, Москва, 1995.

Жакод Ж., Ширяев А.Н. Предельные теоремы для случайных процессов. Т: 1,2. Наука, Москва, 1994.

и вариационным исчислением8. В этом направлении в диссертации исследуется сходимость по вариации образов заданной меры относительно сходящейся в подходящем смысле последовательности отображений. Типичная ситуация возникает при сходимости дифференцируемых в смысле С.Л. Соболева (или даже еще более слабом смысле) отображений к отображению, у которого производная невырожденна почти всюду относительно преобразуемой меры. Результаты этой части работы тесно связаны с геометрической теорией меры9,10,11 и существенно опираются на последнюю.
Второй общий вопрос связан с возможностью преобразовать одну заданную вероятностную меру ц в другую вероятностную меру V. Хорошо известно, что при весьма широких предположениях такие преобразования имеются. Например, так обстоит дело, если эти меры заданы на достаточно хороших пространствах (например, полных сепарабельных метрических или суслинских) и /1 не имеет атомов. Однако преобразования такого рода обычно задаются весьма неявно. Кроме того, подобные общие теоремы существования не дают каких-либо канонических способов выбора преобразования. Лишь для мер на прямой имеется естественная конструкция перевода одной меры в другую с помощью их функций распределения и обратных к ним. В частности, всякую вероятностную меру без атомов можно преобразовать в любую другую меру с помощью возрастающей функции. Имеются содержательные многомерные и даже бесконечномерные аналоги возрастающих функций. Например, весьма важный для приложений и интересный теоретически класс таких отображений составляют так называемые оптимальные транспортировки, возникающие в задаче Монжа-Канторовича и ее современных версиях12’13.
®Giaquinta М., Modica G., Soufek J. Cartesian currents in the calculus of variations. V. I, II. Springer, Berlin - New York, 1998.
9Федерер Г. Геометрическая теория меры. Наука, Москва, 1987.
^Гольдштейн В.М., Решетняк Ю.Г., Квазиконформные отображения и пространства Соболева. Наука, Новосибирск, 1983.
^Регаетняк Ю.Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением. Наука, Москва,
1982.

Rachev S.T., Riischendorf L. Mass transportation problems. V. 1,2. Springer, New York, 1998.
"I О
1JVillani C. Topics in optimal transportation. Amer. Math. Soc., Rhode Island, 2003.

п = 1. Тогда Нт^оо7Д„^(£) — Т^и{€) для почти каждого t, поскольку /ф строго возрастает и Нт]_>0оСиз(и) = бДи) для всех точек и € [0,1], в которых функция (?„ непрерывна, т.е. за исключением не более чем счетного множества. Пусть теорема доказана для некоторого п > 1 и пусть даны вероятностные меры Дд сходящиеся по вариации к мере и на /„.|4 := [0,1]п+1. Проверим, что } содержит подпоследовательность, сходящуюся fJ.-n.BНапомним следующий факт, представляющий собой простую модификацию следствия 9.9.11 в [3]. Пусть борелевские вероятностные меры д, на пространстве X сходятся по вариации к борелевской мере д, Т]: X —> X - борелевские преобразования, сходящиеся д-п.в. к боре-левскому преобразованию Т, причем меры д о Тг1 сходятся по
вариации к мере V д о Т“1. Тогда для всякой последовательности В-измеримых функций сходящейся по мере V к функции II 4>з Т|Ь1М < ||^- оТ^-ро Т,-1|£1(#1) + || (р о Т3 - (р о Т\Щ11)
= IIЧ>3 - ¥>1кчк») + 11^ °Т5-ч>0 Т||Ь1Ы
< || что стремится к нулю при 7 —► оо (последнее слагаемое стремится к
нулю ввиду приведенного выше следствия из [3]). Ясно, что аналогичное утверждение остается в силе для отображений щ и <р со значениями в сепарабельном метрическом пространстве.
Обозначим через До и щ проекции д и и на 1п = [0,1]п. Согласно предположению индукции можно считать, что отображения тгп о Т^и. сходятся до-п.в. к отображению тгп о Т^„, поскольку по нашему построению ОНИ ЯВЛЯЮТСЯ естественными продолжениями на /„-1-1 отображений