Вещественный метод интерполяции для конечных наборов банаховых пространств

• Автор: Асекритова, Ирина Устиновна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Ярославль
• Количество страниц: 148 c. : ил

Настоящая работа посвящена изучению теории вещественного метода интерполяции наборов, состоящих из конечного числа банаховых пространств (банаховых ( И- + 1) - наборов, И, > 4. ).
В ряде задач анализа применение этой теории имеет существенное значение; к ним относятся вопросы разрешимости уравнений гиперболического типа [45] , изучение соболевских пространств с
доминирующей старшей производной и аналогичных пространств Никольского-Бесова [43] , задачи аппроксимации функций
с помощью квазимногочленов [2] и др. Отметим,однако, что в отличие от теории интерполяционных пространств, развитой для случая банаховых пар, ситуация при К > 1 существенно более трудная. Так оказывается, что ряд основных фактов теории интерполяции банаховых пар уже не имеет места в общей ситуации. В частности, Есикава [451 и Спарр [43] показали, что при УЬ' > 1 не верна теорема эквивалентности К - и ^ - методов. Отметим также работы Фернандеса [24-26], в которых сделана попытка доказать обобщенную теорему реитерации Лионса-Питре [ 321 для набора из С к > 4.)
банаховых пространств; однако, приведенное там доказательство не корректно и, как показано в работе [48] сформулированная им теорема не верна. Распространение комплексного метода интерполяции на ( К- -V1 ) - наборы банаховых пространств { Ь>^) также сталкивается с существенными трудностями (см., например, работу Крейна и Николовой [ 13 ] ).

В связи с указанными обстоятельствами естественно возникают следующие две задачи.

1) Выделить из класса банаховых ( ^+1 ) - наборов под-

класс "допустимых", то есть тех, для которых сохраняется возможно большее число фундаментальных результатов, доказанных для случая У1 - 4.,
2) Найти конструктивные условия, позволяющие проверить будет ли тот или иной набор "допустимым".
В литературе имеется не много результатов, направленных на решение этих двух задач. Так, в работе Спарра [43] выделен подкласс банаховых ( И + 1 ) - наборов, удовлетворяющих "условию " (мы опишем его ниже) и показано, что на этом подклассе справедливы аналоги теорем эквивалентности и реитерации Лионса-Питре [32] . Отметим, однако, что "условие " носит неконструктивный характер и его проверка даже для случая простых наборов затруднительна. Спарру удалось с помощью некоторых косвенных соображений установить, что ? - условию удовлетворяет набор
(Це<лХ)>
где X - банахово пространство, векторы таковы, что (Й является линейной оболочкой векторов вГво.-, а норма в ^аХ) определяется формулой
»«И в :=(Г У^;
Н (Х) к<^т
здесь ж
Ок- Л 9^ кг

Однако, уже и этот результат дал ему возможность установить некоторые интересные факты об интерполяции и теоремах вло- . жения для пространств Соболева с доминирующей старшей производной.

Настоящая работа посвящена изучению указанных выше двух задач, а также некоторым применениям полученных результатов.
Перейдем к обзору содержащихся в диссертации результатов. Работа состоит из 9 параграфов.
В § 1 приводятся основные определения и устанавливаются некоторые свойства К - и У - методов. Для дальнейшего изложения нам понадобятся следующие определения (см. [43] ).
Определение 1. Банаховы пространства Х0з
образуют ( ) - набор X , если они линейно и непрерывно вложены в некоторое линейное отделимое топологическое пространство %
Как и в случае ни = I можно образовать банаховы пространства ХсЛ') -Х0+Х^.^Х^ и Л с Л) - Х0ГХ±Г.,. О ■
Для элементов х £ 21 с X ) определяется К - функционал Питре:
К (. + , ЗС • 7-) : - Т. 1; и Эе- И „ ,
где -Ь = С-Ъ 1,-Ь^, е ±0:-±.
Пусть Ф - идеальное пространство измеримых функций, определенных на . Через К^сХ) обозначим совокупность
элементов X € 21 с X) для которых конечна норма
И 01II , -г ; - и К СОс. •
КфсХ) ' Ф
Будем говорить, что Ф параметр К - метода, если

Здесь и далее ; ”Ь|с>С),

§ 3. КОНТРПРИМЕР К К - ДЕЛИЮСТИ
Приведем пример, показывающий, что в отличие от случая УЬ = 4. , не любой ( Ни+£ ) - набор банаховых пространств является К - делимым.
Для этого рассмотрим ( >^+1 ) - набор
пространств последовательностей, определенных на ; здесь
11 : ^аЛгД^<0°' ^ (1)

Введем функции р'уЖ-^Ж , полагая р±(к):= Л ? р. с)о: = Л .
Пусть ь- ЦК )у где
1, если существует к>0, ДЛЯ которого
1'~ А Ч —ЧчР±с1°> 4 = ЧЧ..^к^О; (2)
к 0 для остальных 1^2^,
Определим также последовательности
^4 = I 1 И ^2.“ ^ 1 > ГДе
. 2, если существует к >.1) ДЛЯ которого
Уъ. - Л к=рД), 1^-р1скч>) , 1^-0 ;
(3)
О в остальных точках ъ е Ж

3 для 11=1> Ц=-1, О;
3, если существует к^о? для которого
4“ 4.“~Рд<-^+4), Ц -Ч-.-5 1ц,- О;
(4)

[О в остальных точках г £ Ж Пусть Ч здесь, как и раньше, Ь

ск.^0,1,^) - пространство последовательностей, определенных