Интеграл типа Коши на негладкой неспрямляемой кривой и его приложения к решению краевой задачи Римана и сингулярным интегральным уравнениям

• Автор: Погодина, Анна Юрьевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 105 с. : ил.

§ 0.1. Краткие исторические сведения

§ 0.2. Содержание диссертации

§ 0.3. Некоторые предварительные сведения

ГЛАВА I.

ГРАНИЧНЫЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА ТИПА

КОШИ НА НЕГЛАДКОЙ КРИВОЙ

§ 1. О граничных значениях интеграла типа Коши

на негладкой кривой

§ 2. Возмущения областями с ограничениями на

периметр и ширину

§ 3. Нижняя оценка интеграла типа Коши

§ 4. Свойства интеграла типа Коши по неспрямляемой кривой
§ 5. Интеграл типа Коши по неспрямляемой кривой и функции Фабера-Шаудера
§ 6.Предел симметрической разности интеграла типа Коши

ГЛАВА II.
ПРИЛОЖЕНИЯ УСЛОВИЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ ИНТЕГРАЛА ТИПА КОШИ К РЕШЕНИЮ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ РИМАНА И СИНГУЛЯРНЫМ
ИНТЕГРАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ
§ 7. Задача Римана на замкнутой неспрямляемой кривой
§ 6. Задача Римана на неспрямляемой дуге
§ 7. Сингулярные интегральные уравнения
на неспрямляемой кривой
ЛИТЕРАТУРА

§ 0.1. Краткие исторические сведения
Диссертация посвящена исследованию граничного поведения интеграла типа Коши на негладкой неспрямляемой кривой. Эти вопросы вызывают большой интерес в комплексном анализе, в том числе, в связи с решением краевых задач для голоморфных функций и сингулярных интегральных уравнений(см. [1], [2]). В этой области имеется огромное количество различных достижений. Однако для понимания результатов необходимо процитировать некоторые из них. Пусть Г есть простая спрямляемая кривая на комплексной плоскости. Тогда для любой заданной на Г непрерывной функции /(£) интеграл типа Коши
существует и представляет собой голоморфную в СГ функцию. Обозначим через
пределы, получающиеся при стремлении точки 2 к точке 4 € Г слева и справа соответственно.
Хорошо известно, что интеграл (0.1) по замкнутой кусочно-гладкой кривой Г имеет непрерывные граничные значения на Г, если его плотность /(1) удовлетворяет условию Гельдера
(0.1)
С+(Г, /; *) = Пт С (Г, /; г), С" (Г, /; *) ее Ит С(Г, /; г)
: г" е г, г' ф г"} = л„(/, Г) < оо (0.2)

§ 4. Свойства интеграла типа Коши по неспрямляемой кривой.
В первых двух параграфах работы речь не раз шла о неспрямля-емых контурах интегрирования. Однако под неспрямляемой кривой там каждый раз понималась такая кривая Г с началом в точке 0 , что Г£ = Г П{д : Ие 2 > е} есть спрямляемая кривая при любом е > 0. Фактически неспрямляемость там означала, что предел длины Ге при £ —^ 0 бесконечен.
Немалый интерес представляют кривые, которые неспрямляемы тотально, то есть неспрямляемой является не только сама кривая Г, но и любая принадлежащая ей дуга. Обсудим некоторые возможные определения интеграла типа Коши по неспрямляемым кривым такого рода.
Введем определение интеграла типа Коши по неспрямляемой кривой через интеграл Стилтьеса. Если Г = дгУ и /(х + гу) = /*(х), то можно положить
£ /(г)с1г = ! /*{х)(1х + г1 /*(х)(1¥(х),
понимая последний интеграл в смысле Стилтьеса. Хорошо известно, что такой интеграл существует, если функция /*(х) имеет ограниченную вариацию на отрезке /, а функция ¥ непрерывна (см., напр., [13], с. 252). Условие непрерывности ¥ входит в определение класса С. Однако наше условие /6 обеспечивает ограниченность вариации функции /*(х) на отрезке I лишь при и = 1.