Теоремы равносходимости для интегральных операторов с инволюцией

• Автор: Кувардина, Лариса Петровна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 113 с.

Оглавление
Введение
Глава 1. Обращение интегральных операторов с инволюцией
1.1. Теоремы об обращении
1.2. Случай вольтеррова оператора с инволюцией
Глава 2. Равносходимость для интегральных операторов с дробнолинейной инволюцией
2.1. Резольвента “простейшего” оператора
2.2. Оценки резольвенты “простейшего” оператора
2.3. Формула для резольвенты интегрального оператора с дробно-линейной инволюцией
2.4. Равносходимость спектральных разложений исходного и простейшего операторов
Глава 3. Равносходимость для интегральных операторов с произвольной инволюцией
3.1. Интегро -дифференциальная система для резольвенты
3.2. Исследование решений упрощенной системы
3.3. Исследование преобразованной интегро-дифференциальной системы
3.4. Основная теорема
Литература
Введение
Многие вопросы современной математики, механики, физики приводят к спектральному анализу несамосопряженных дифференциальных, интегральных и интегро-дифференциальных операторов. Исследования в этой области включают в себя задачи определения собственных значений, собственных и присоединенных функций (с.п.ф.), обращения операторов, асимптотического представления резольвенты при больших значениях спектрального параметра, разложения произвольной функции в ряд по с.п.ф., вопросы полноты и базисности системы с.п.ф., равносходимости разложений по с.п.ф. и по известным системам функций, суммируемости разложений по с.п.ф. и так далее. Такого рода задачи возникают, например, при использовании метода Фурье для решения краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных. Следует отметить, что в последнее время интерес к спектральной теории возрастает, о чем свидетельствуют многочисленные публикации.
Данная работа посвящена изучению интегральных операторов с инволюцией. Основной результат - теорема равносходимости разложений по с.п.ф. интегральных операторов и в тригонометрический ряд Фурье. Предварительно получены формулы точного обращения для более широкого класса интегральных операторов с инволюцией.
Впервые теорема равносходимости спектральных разложений по с.п.ф. и разложений в обычные тригонометрические ряды Фурье была установлена в работах В.А. Стеклова [1], Е. Гобсона [2], А. Хаара [3] для случая дифференциального оператора Штурма-Лиувилля. Позже Я.Д. Тамаркин [4] и М. Стоун [5] распространили этот результат на дифференциальный оператор произвольного порядка

Ы = у{п) + Х(ж)у(А:)> Рь(х) е С'Г0- (!)

с произвольными краевыми условиями

= ХаА)(°) + ьу(,г)( 1)]=0, з = (2)

удовлетворяющими условию регулярности Биркгофа ([6], с. 66-67). Эти условия заключаются в отличие от нуля некоторых определителей, составленных из коэффициентов при старших производных В Uj (у), после приведения их к нормированному виду ([6], с. 65-66). Вообще говоря, условия регулярности снять нельзя. Приведем один из результатов Я.Д. Та-маркина
Теорема 0.1. Для оператора (1) с регулярными краевыми условиями (2) существует такая последовательность номеров {h}, что для всякой f(x) & L[0,1] и любого S € (0,1/2)
lim ||Skl(f) - ai(f)\c[5д-5] = 0, (3)
г—>оо
где Sh(f) и o'tc(f) - частичные суммы рядов Фурье функции f{x) по с.п.ф. и обычной тригонометрической системе (к - число членов).
Аналогичный результат был получен М. Стоуном [5] при рк(х) € £[0,1].
Одним из основных требований теоремы равносходимости является труднопроверяемое условие регулярности краевых условий. Существует другой подход к вопросу равносходимости, когда дифференциальный оператор не привязывается к граничным условиям, а лишь используется дополнительная информация о поведении собственных значений и собственных функций. Этот метод разработан в многочисленных работах В.А. Ильина (основополагающие статьи [7]-[9]); часто такой подход к решению задачи позволяет получить результаты окончательного характера. А.М.Седлецким были получены, например [10], теоремы равносходимости для дифференциальных операторов с «размазанными» граничными условиями.
Теорема 0.1 дает равносходимость спектральных разложений для интегрального оператора

Af = J A(x,t)f(t)dt, (4)

если A(x,t) является функцией Грина некоторого дифференциального оператора. В общем случае для интегральных операторов вопрос о равносходимости впервые исследовался А.П. Хромовым [11], [12]. При этом
были введены следующие требования на ядро оператора:
gs+з
а) производные AxHj(x,t) — t) (s,j = 0,п) непрерывны
при t < х nt >х ]

Теорема 2.3 дает нам представление резольвенты Я®, из него и будут получены различные асимптотические оценки Я() при больших значениях ]А|. Но прежде, мы изучим некоторые вспомогательные функции.
Лемма 2.1 .В области 8$ справедливы оценки:
г(х, р) = О ((ах + 1) м), в(х,р) — 0(р(ах + 1)~),
я 41, ц) = 0 ( £(а + 1)м
(2.37)
(2.38)
(2.39)
Доказательство. Так как рассматривается случай а > 0 и 0 < I < 1, то ах + 1 > 1, следовательно 1п(ах + 1) > 0. Учитывая то, что Пер < 0, из (2.26), (2.27) имеем очевидные оценки (2.37), (2.38).
Займемся доказательством оценки (2.39).
4(1,р)| = |р(а + 1) (А1+1) + (р + 1)(а + 1)4
= |е-(/И-1)гп(а+1) + + 1)еп(а+1)|
= |д[е~Ее/Лп(а+1)
_|_ е2р1п(а+1) }_е2ц1п(а+1)

(2.40)
Обозначим

г(п — 1 е2Щтг(а+1) }_е2ц1п{а+1)
а + 1 р
тогда, очевидно, что
т(р) I >
1 , с2ц1п(а+1)
а + 1
(2.41)
Обозначим <р(р)

,2(11п(а+1)

И/41 >
. Тогда

£211е Щп(а+1)
(2.42)
Рассмотрим два случая. Во-первых, пусть р таково, что имеет место неравенство
е2НеЩп(а+1) < <
тогда из (2.42) имеем
И/41 >

- ф > 0.