Применение теоретико-функциональных и аппроксимационных методов в исследовании перемешивающих свойств динамических систем

• Автор: Кочергин, Андрей Васильевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 244 с.

0. Введение

§ 0.1. Свойства потоков на двумерном торе

§ 0.2.Перемешивание в потоках на поверхностях

§ 0.3.Когомологическое уравнение

§ 0.4.Структура и основные результаты диссертации

1. Перемешивание

§ 1.1. Основные понятия и некоторые леммы

§ 1.2.Достаточное условие перемешивания

§ 1.3.Модификации достаточного условия перемешивания

§ 1.4.Орбиты поворота окружности

2. Перемешивающий специальный поток над поворотом окружности с почти липшицевой функцией
§ 2.1. Формулировка результатов и описание механизма растяжения
биркгофовых сумм
§ 2.2.Свойства е - равномерно распределенных функций
§ 2.3.Разбиение и е - равномерная распределенность биркгофовых сумм
3. Гельдерова замена времени и скорость перемешивания в потоке на двумерном торе
§ 3.1.Формулировка результатов и построение потока
§ 3.2. Схема оценки скорости перемешивания
§ 3.3. (е, <5) - равномерно распределенные функции
§ 3.4. (е, 5) - равномерная распределенность биркгофовых сумм

§ 3.5. Доказательство теоремы 3.4 о размешивании элемента
разбиения
Невырожденные неподвижные точки и перемешивание в потоках на двумерном торе
§ 4.1. Определения и формулировка результатов
§ 4.2. Геометрия множества особых точек
§ 4.3.Биркгофовы суммы «идеальных» логарифмических
функций
§ 4.4.Теорема о «главном резонансном слагаемом»
§ 4.5.Предварительная оценка биркгофовых сумм (/г)'
§ 4.6.Построение частичного разбиения и разложения (/г)'
§ 4.7.Оценка диапазона 31(1, [£*]) и величины {fAг)'
§ 4.8. Доказательство основных теорем
Когомологичные функции и непрерывность
§ 5.1.Предварительные замечания
§ 5.2.Неравенства и когомологическое уравнение
§ 5.3. Когомологичность и непрерывность
Список литературы
ГЛАВА О ВВЕДЕНИЕ
§ 0.1. Свойства потоков на двумерном торе
Большая часть настоящей диссертации посвящена изучению перемешивающих свойств потоков на двумерном торе Т2 = Ж2/й2 с инвариантной мерой и изоморфных им специальных потоков над поворотами окружности 81 — Ж/Ъ. Изучается взаимосвязь между гладкостью потока без неподвижных точек и возможными перемешивающими свойствами, а также перемешивающие свойства потоков с неподвижными точками.
Кроме того, исследуются свойства непрерывной замены времени в абстрактных эргодических апериодических потоках на компактных метрических пространствах и многообразиях.
Введем необходимые понятия и обозначения.
Рассмотрим пространство Лебега (X, р) с нормированной мерой р и сохраняющий меру р автоморфизм Т: X —» X. Пусть / е Ь1{Х, р), /(х) ^ с > О (почти) при всех х € X.
Фазовым пространством специального потока служит множество
мера рг на У] порождается прямым произведением брей/, причем она нормируется так, что рг(Р/) = 1. Мы для определенности будем считать, что /§1 /(х)йр(х) = 1.
Специальным потоком, построенным по Т и функции /, (или специальным потоком над автоморфизмом Т с функцией /) называется однопараметрическая группа преобразований {5^} пространства V/, сохраняющая меру рг и действующая при t ^ 0 по формуле
Стандартным прямоугольником <3 = <3/^ назовем множество
д= и 5Г/’ о<л^с/2.
С помощью теоремы Фубини легко получается следующее достаточное условие перемешивания.
ЛЕММА 1.1.1. Если для любого стандартного прямоугольника С) и любого £ > 0 найдется такое С > 0, что для любого t ^ <* существует такое конечное частичное разбиение рг окружности на непересекающиеся интервалы или отрезки, что р{[г]г}) > I — £ и для любого С £ 7р
С<е, м(СП5-^)>р(С)/х2(д)(1-е),
то специальный поток 5* перемешивает.
Аналогичные достаточные условия сформулированы и доказаны в [66], [68] и [38]. Кроме того, фактически доказательство этой леммы проведено (только с лишними деталями в оценках) при получении оценки снизу в лемме 3.2.1.
Таким образом, мы будем доказывать, что каждый элемент достаточно мелкого разбиения «размешивается» по фазовому пространству У.
Перемешивание в специальном потоке над поворотом окружности и, вообще, над так называемым жестким автоморфизмом возникает за счет того, что точки соседних траекторий, проходя вертикальные отрезки от основания пространства У до «крыши» за различные промежутки времени, через некоторое время разбегаются достаточно далеко вдоль траекторий. В результате маленький горизонтальный отрезок сильно растягивается по вертикали и оказывается почти равномерно распределенным по длинной и узкой полоске, идущей вдоль траекторий, и как бы наматывается на фазовое пространство. Это растяжение описывается с помощью биркгофовых сумм /г. Действительно, для точки х € § любого момента времени t и целого г
5‘л = 5‘"/г(1)(Тгл). (1.1.3)