Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля с негладкими коэффициентами в пространстве вектор-функций

• Автор: Сафонова, Татьяна Анатольевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: архангельск
• Количество страниц: 104 с.

Оглавление
Введение
1 Асимптотическое интегрирование симметрических систем квазидифференциальных уравнений второго порядка

1.1 Основные понятия и факты

1.1.1 Квазипроизводные и симметрические квазидиффереи-

циальиые выражения

1.1.2 Операторы Ьий и Ь±. Индексы дефекта оператора

1.2 Теорема об асимптотической близости решений

1.2.1 Формулировка и доказательство основной теоремы

1.2.2 Следствие

1.3 Асимптотические формулы решений одного класса однород-

ных дифференциальных уравнений второго порядка в пространстве вектор-функций
1.3.1 Формулировка теоремы
1.3.2 Доказательство
1.3.3 Доказательство
1.4 Примеры
2 Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля в пространстве

вектор-функций и обобщённые якобиевы матрицы
2.1 Разностные операторы второго порядка с матричными коэффициентами на полуоси
2.1.1 Основные понятия и факты
2.1.2 Матричная проблема моментов
2.2 Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля с потенциалами
- распределениями в пространстве вектор - функций
2.2.1 Корректное определение оператора Ч
2.2.2 Условия минимальности дефектных чисел оператора

2.3 Связь между спектральными свойствами дифференциального оператора Штурма-Лиувилля и порождённого им разностного оператора
2.3.1 Скалярный случай
2.3.2 Векторный случай
2.4 Примеры
Литература

Введение
В спектральной теории обыкновенных дифференциальных операторов центральное место занимают вопросы, связанные с исследованием их спектральных характеристик, в частности, вопросы о нахождении индекса дефекта и спектра таких операторов в зависимости от поведения коэффициентов соответствующих дифференциальных выражений. Систематическое изучение этих вопросов было начато Г. Вейлем в начале 20 века и нашло своё отражение в работах многих авторов, например, Э.Ч. Титчмарша [38], Б.М. Левитана[18], Н.И. Ахиезера и И.М. Глазмана [1], М.А. Наймарка [26], Н. Данфорда и Дж.Т. Шварца [6]. Стоит отметить, что в указанных работах в основном изучались скалярные дифференциальные операторы, в частности, оператор Штурма-Лиувилля, порождённый дифференциальным выражением
1[у = -у" + Ф )у (!)
в гильбертовом пространстве С2(а,Ь), где —оо < а < Ь < +оо. При этом стандартным условием на потенциал д(ж) по существу является условие Ф) € Ц0С(а,Ь).
В научной литературе активно изучаются и операторы Штурма-Лиувилля с потенциалами из пространства распределений (как модельный случай, операторы с потенциалами короткого взаимодействия типа -функции)

Тогда

Х(х) = Т(х)С + Т2(х)С + (Л - Ло) І(Т2(х)ТІ(і) - Тг(х)72(і))х(і)<Й.

Если использовать обозначение 11x0е) II = | |Хг|2| и если ЛГ(ж0) та-
ково, что для всех х > гсо:
1. /№)\*а = } \Щ)\Ч1 < щХо) и = 1,2),
Х0 Хо
2. ЦСЦ1/2, ЦСЦ1/2 < ЛГ(ж0)(:=ЛО
(здесь, как и раньше, ||А|| означает сумму абсолютных величии всех элементов матрицы А), то неравенство Коши-Буняковского даёт
ІІХМІІ < {НЛ ИН + ||Т2(і)||}{1 + |А

УWWdt}-
Возводя в квадрат это неравенство и интегрируя полученное неравенство в пределах от Хо до х, получаем

I\хШ2& <8Л2 + 82|а - а0|21 НхООН2.

Если жо настолько велико, что N < 4|А_Ло[, то

У ||х№112*<

1 — 81У2|А — Л0|2'
Так как правая часть этого неравенства не зависит от х, то х{х) Є £2(Д+). Теорема 1.1.2 доказана.
Относительно чисел п+ и п- справедливо следующее утверждение. Теорема 1.1.3 Числа п+ и п_ удовлетворяют следующим неравенствам:
п < п+ — П- < 2п.