Устойчивость некоторых классов операторно-дифференциальных уравнений второго порядка в гильбертовом пространстве

• Автор: Артамонов, Никита Вячеславович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 91 с.

Содержание
Введение
0 Предварительные сведения
0.1 Спектральная теория операторов
0.2 Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве
1 Устойчивость нестационарных систем
1.1 Постановка задачи
1.2 Существование и единственность обобщенного решения
1.3 Свойства обобщенного решения уравнения (1.2.6)
1.4 Исследование сильной устойчивости уравнения (1.1.4)
1.5 Достаточные условия сильной устойчивости краевой задачи
(1.1.1) - (1.1.3)
2 Устойчивость несамосопряженных систем
2.1 Постановка задачи
2.2 Существование и свойства решения задачи (2.1.6), (2.1.5)
2.3 Исследование дифференциального уравнения (2.1.1)
Литература

Введение
Настоящая работа посвящена вопросам устойчивости дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве. Неформально под устойчивостью подразумевается ограниченность всех решений уравнения на прямой (или на полупрямой) в различных пространствах. Впервые систематически изучать устойчивость (обыкновенных) дифференциальных уравнений и механических систем начал, по-видимому, А. М. Ляпунов. Ему принадлежит один из самых общих методов исследования - метод функций Ляпунова, широко применяемый также для изучения устойчивости дифференциальных уравнений в частных производных и, более общо, дифференциальных уравнений в банаховых пространствах. Однако для некоторых важных для приложений уравнений (в частности, для линейных гамильтоновых систем) этот метод неприменим. В работах М. Г. Крейна [22] и И. М. Гельфанда, В. Б. Лидско-го [6] для (конечномерных) линейных гамильтоновых систем был предложен новый метод исследования сильной устойчивости, основанный на использовании результатов теории операторов в пространствах с индефинитной метрикой [3] (под сильной устойчивостью подразумевается устойчивость всех "близких" в смысле некоторой метрики гамильтоновых систем). Далее этот метод был расширен на линейные гамильтоновы системы в бесконечномерных пространствах с ограниченными операторными коэффициентами (см., например, [36]) и с неограниченными операторными коэффициентами (при некоторых достаточно ограничительных условиях, см. [10, 11, 12]). Устойчивости линейных операторно-дифференциальных уравнений в гильбертовых и банаховых пространствах посвящено много работ (см., например, [9] и приведенные там ссылки). Переход от ограниченных операторных коэффициентов к неограниченным значительно усложняет ситуацию. В первую очередь это связано с разрешимостью соответствующей задачи Коши. В случае ограниченных операторов корректная (в смысле Адамара) разрешимость устанавливается при некоторых необременительных ограничениях несложно - достаточно свести задачу к интегральному уравнению и использовать метод последовательных приближений. Разрешимость задачи Коши для неограниченных операторных коэффициентов изучалась многими математиками (см. [23] и ссылки, приведенные там). Наиболее полно изучен слу-

ВВЕДЕНИЕ

чай дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами: после сведения к системе первого порядка \Д£) = Ау(£) для корректной разрешимости необходимо и достаточно, чтобы плотно определенный оператор А являлся генератором Со-полугруппы (теорема Э. Хилле и Р. С. Филлипса, см. Главу 0 и [37]). В случае переменных операторных коэффициентов дело обстоит сложнее. Один из наиболее общих результатов в этой области принадлежит Т. Като (см. [42] и теорему 0.2.2 из Главы 0).
Разрешимость и свойства решений дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Здесь £ - время, и({) и /(£) - вектор-функции со значениями в банаховом пространстве, - линейные (вообще говоря, неограниченные) операторы. Если решать однородное уравнение методом Фурье (методом разделения переменных), т.е. в виде и(£) = ехр{1Д)Ф, где С 6 С и ф - постоянный вектор, то приходим к задаче на собственные значения ЦД)ф = 0. С оценками резольвенты оператор-функции Ь{А) связан метод решения, основанный на применении преобразования Лапласа. Для исследования устойчивости важно знать локализацию и структуру спектра а(Ь) (определение спектра оператор-функции см. в §0.1). Это следует из следующего соотношения
Таким образом, если существует собственное значение £ ё С_ из открытой нижней полуплоскости, то уравнение неустойчиво на полупрямой К+ (существует растущее при £ —> +оо решение ехр(г££)<^>). Аналогично, если существует собственное значение С € СМ, то решение ехр(гД)ф не ограниченно на всей прямой К. Построение спектральной теории полиномиальных операторных пучков началось с работы М. В. Келдыша [20] (см. также [19]) и за последние десятилетия она превратилась в самостоятельный раздел теории линейных операторов (см., например, монографии [7] и [28], статьи [21, 40, 44] и др.). Отметим также, что в конечномерном случае исследование спектра сводится к изучению расположения корней многочлена, являющегося характеристическим определителем, и задача о локализации спектра пучка полностью решается теоремой Гауса-Гурвица (см. монографию [38]).
тесно связаны со спектральными свойствами оператор-функции

Х(А) = $>%.
е^ф\ = е~1^\ф
ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ
A) Ро _ самосопряженный, положительно определенный оператор. Р0 1 компактен.

B) Р - замкнутый симметрический Р02-ограниченный оператор,

C) г'Р - замкнутый симметрический Р02-ограниченный оператор.
В дальнейшем конкретный вид операторов Ро, Р и В несущественней. Важны лишь их свойства А) - С).
Задача состоит в исследовании корректной разрешимости задачи Коши
(1.1.4), (1.1.5) и нахождении оценок решений в различных пространствах. Наибольший интерес представляет случай когда все решения задачи (1.1.4),
(1.1.5) ограничены на полуоси К+ (уравнение устойчиво). Для приложений
представляет интерес случай, когда постоянная скорость жидкости возму-
щается малой периодической компонентой, т.е. имеет вид уЦ) = г>о + £Й(1), где уЦ) - Т-периодическая функция (Г € К).
1.2 Существование и единственность обобщенного решения
В гильбертовом пространстве 9) рассмотрим операторно-дифференциальное уравнение несколько более общего вида, чем (1.1.4)
(и' + СД£)иУ + С}(Г)и' + Р0и + Р(Ци = 0 (1.2.6)
■и(О) = щ, и'(0) = щ. (1-2-7)
Будем предполагать, что выполнены следующие условия:
А') Р0 - самосопряженный, положительно определенный оператор. Через 9)6 обозначим шкалу гильбертовых пространств, построенную по оператору Р02; норму в 9)в будем обозначать через || • ]|#. Таким образом, 9)2в = Ъ(Р$).

В') РЦ) - замкнутый, Р02-ограниченный оператор при всех 1 € [0,Т]. Оператор Р{£) может быть расширен до ограниченного оператора из пространства 9)$ в 5э_т- Отображение £ —> Р{Г) есть непрерывная функция со значениями в пространстве 93(5}1,.£)о) и в 23т)•

С') <3(£) - замкнутый Р02-ограниченный оператор, - диссипативный
оператор в пространстве 9) при всех Ь £ [0, Т]. Оператор С^Ц) может быть расширен до ограниченного оператора из пространства 5э