Неравенства типа Харди с весами, имеющими степенные и логарифмические особенности

• Автор: Насибуллин, Рамиль Гайсаевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 117 с. : ил.

Оглавление
ВВЕДЕНИЕ
Глава

СОЧЕТАНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ И СТЕПЕННЫХ ОСОБЕННОСТЕЙ

§1.1 Неравенства с весами, имеющими логарифмические особенности

1.1.1 Одномерные неравенства

1.1.2 Многомерный случай

§1.2 Точность констант в трех неравенствах

§1.3 Весовые функции со степенными особенностями

1.3.1 Одномерные неравенства и вспомогательные результаты

1.3.2 Пространственный случай

1.3.3 Улучшение оценок в случае выпуклых областей
Глава
ПРИМЕНЕНИЯ К ОБЛАСТЯМ, РЕГУЛЯРНЫМ В СМЫСЛЕ Е.Б. ДЭВИСА
§2.1 Функции, заданные на отрезке числовой прямой
§2.2 Весовые функции в областях, зависящие от расстояния по
направлению
§2.3 Упрощения для выпуклых областей
§2.4 Применения к невыпуклым областям
§2.5 Случай регулярных областей и весов с логарифмами
Глава
ВЕСОВЫЕ ФУНКЦИИ, СОДЕРЖАЩИЕ МОДУЛИ ЛОГАРИФМОВ
§3.1 Одномерные неравенства

§3.2 Случай весов с итерированными логарифмами
§3.3 Неравенства в евклидовом пространстве
§3.4 Доказательство точности двух констант
Заключение
Литература

ВВЕДЕНИЕ
Диссертационная работа посвящена неравенствам типа Харди. Рассматриваемые неравенства связывают в одномерном случае функцию и ее производную, а в многомерном случае — функцию и модуль ее градиента. Стоит отметить, что неравенства типа Харди могут быть дискретными, то есть вместо интегралов от функций используются конечные или бесконечные суммы членов числовой последовательности (см., например, Г.Х. Харди, Дж.Е. Литтлвуд, П. Полна [60], Г.Х. Харди [61]).
Основное неравенство Харди для абсолютно непрерывной функции / : [0,оо) —> К такой, что /(0) = 0, /' Є L2(0, оо), / ^ 0, можно записать следующим образом:

J ^2 dx < 4 J f'2dx. (0.0.1)

Константа 4 является точной, но не существует экстремальной функции, на которой достигается равенство (см. [60]).
Актуальность темы. Одномерные неравенства Харди вида (0.0.1) обобщались в различных направлениях такими авторами, как Дж. Таленти [90], Дж. Томаселли [92], Б. Макенхоупт [79], В.Г. Мазья [75], В.Д. Степанов [24], [89], А. Куфнер и Л.Э. ГІерссон [68], В. Левин [72], Ф.Г. Авхадиев и К.-Й. Виртц [32], [35], Д.В. Прохоров [22] и ряд других математиков. Например, Дж. Таленти [90] и Дж. Томаселли [92] получили условия на весовые функции в одномерных неравенствах типа Харди, которые необходимы и достаточны для выполнения соответствующего неравенства.
Широкое развитие получили неравенства типа Харди в многомерных областях:
J 1£Ldx < Сп(П) JVf2dx, (0.0.2)

где П — произвольная открытая область из евклидова пространства К", причем Д ф М", S = 5(х) — dist(x,<90) — функция расстояния до границы

Доказательство. Если следовать методу Ф.Г. Авхадиева (см. [2], [3], [5], [31]), то оказывается достаточно доказать неравенство (1.1.3) лишь для случаев р = 1, п = 1 и р — l,n > 1. Рассмотрим эти два случая по отдельности.
При п = 1 открытое множество ÇÎ С И1 является конечным или счетным объединением взаимно непересекающихся интервалов вида (ат,Ьт), полудлины которых не превосходят 5о(^)- Из утверждения теоремы 1.1.1 при а = 1 для любой функции / € С(] (И) мы получим следующие неравенства
[------------ £Ш------- ---dx< f f'{x)\nk+1^dx.
j Six) ln^. -ln,^ k+1S(x)
J <5(æ) k5(x)
Суммируя по m получаем требуемое неравенство (1.1.3) при р = 1, п = 1.
Далее рассмотрим случай п > 1. В статье [3], используя классическую аппроксимацию открытого множества И кубами, автор показал, что
достаточно доказать неравенства в множестве
K(S) — {х G fli : 3 точка у е 5, такая, что ô(x, dfli) = х — г/]} ,
где Hi — некоторое разбиение И и для к 6 {1, 2,..., n}, S является (п — к)-
мерной гранью куба.
При вычислении интегралов по множеству K(S) с переменной г = 6(х, как с одной переменных интегрирования приходится пользоваться, либо сферическими, либо цилиндрическими, либо декартовыми координатами. Переходя к соответствующим повторным интегралам получаются п различных формул, содержащих функции (рп-к(у,и>) = <рп_Дг/, uj S, ГД) €
[О, <5o(fli)]:
(i) если dim S = n — 1, то
V>n-i(y,v0)
J g(x)dx = J dy J g(y + rLL>o)dr-, (1-1.4)
K(S) s