Некоторые вопросы теории приближений

• Автор: Куликова, Татьяна Юрьевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 103 с.

Содержание
Введение
Глава I. Аппроксимация в пространствах с весами Якоби, Лагерра и Эрмита
§ 1. Определения и формулировка основных результатов
§2. Свойства дифференциального оператора
§ 3. Свойства операторов обобщенного сдвига
§ 4. Операторы сдвига, задаваемые рядами Фурье по ортогональным системам. Неограниченность некоторых операторов
Глава II. Аппроксимация на прямом произведении сфер
§1. Определения и формулировка основных результатов
§ 2. Вспомогательные утверждения
§3. Свойства дифференциального оператора Лапласа-Бельтрами
Глава III. Аппроксимация на торе
§1. Определения и формулировка основных результатов
§2. Свойства оператора дифференцирования
§ 3. Свойства операторов обобщеного сдвига
Глава IV. Аппроксимация полиномами по системе Уолша
§1. Определения и формулировка основных результатов
§ 2. Свойства оператора обобщенного сдвига
Глава V. Теоремы аппроксимации в абстрактной модели
§1. Определения и формулировка основных результатов
§ 2. Доказательство теоремы о прямоугольнике
§ 3. Доказательство теоремы об угле
§ 4. Свойства смешанных логарифмических классов
§ 5. Доказательство теоремы о гиперболическом угле
Список литературы

Введение
Одно из основных направлений теории приближений - это выяснение связи структурных свойств функции со скоростью убывания последовательности ее наилучших приближений многочленами. Систематические исследования этого вопроса ведутся с начала XX века, причем эти исследования проводятся в двух направлениях. С одной стороны, находится скорость стремления к нулю величин наилучшего приближения при тех или иных условиях на функцию /. Такие теоремы получили впоследствии название прямых теорем теории приближений. А с другой стороны, изучаются структурные свойства функции в зависимости от ее наилучших приближений. Эти теоремы называют обратными теоремами теории приближений.
Впервые прямые теоремы о приближении непрерывных функций на отрезке действительной прямой получены Д. Джексоном [56], а первые обратные теоремы получены С. Н. Бернштейном [6]. В этих работах речь идет о приближении функций одной переменной в равномерной метрике.
В диссертации прямые и обратные теоремы рассматриваются для случая среднеквадратичного приближения функций двух переменных с интегрируемым квадратом, заданных на прямых произведениях различных измеримых пространств.
Приведем сначала некоторые одномерные результаты, имеющие отношение к этим вопросам.
Рассмотрим пространство ЬчХ) функций с суммируемым квадратом, заданных на некотором измеримом пространстве X с мерой, в котором имеется счетная полная ортонормированная система. Через Еп(/) будем обозначать наилучшее среднеквадратичное приближение функции / полиномами порядка ниже п по этой системе.
Структурные свойства функций одной переменной удобно описывать в терминах классов Нг, г — т + а, m£Z+, а £ (0, 1], называемых классами С. М. Никольского. Это классы функций, имеющих то-ую производную, удовлетворяющую интегральному условию Липшица порядка а (при а < 1):
||/(ж) - /(ж + К)\ЫХ) < М, или условию Зигмунда (при а = 1):
11/0*0 - 2/(ж + К) + /(ж + 2К)\Ых) < Мук.
Подобные классы в периодическом случае рассматривались А. Зигмундом [60].
В случае среднеквадратичного приближения тригонометрическими полиномами 27г-периодических функций из классов Никольского, прямые и обратные теоремы аппроксимации были получены Н. И. Ахиезером [1]. Из этих результатов следует, что условие
Еп(Л = 0(п~г) (1)

является конструктивной характеристикой класса Нг.
В непериодическом случае условие (1) уже не является конструктивной характеристикой соответствующего класса Никольского. Поэтому для того, чтобы в этом случае получить замкнутые теоремы аппроксимации, структурные свойства функций надо описывать в терминах не обычного сдвига, а обобщенного. Обычную производную также удобно заменить на обобщенную операторную производную.
Приближение функций в интегральной метрике в одномерном непериодическом случае (т.е. в случае, когда X —< а,Ь >, —со < а < Ъ < +оо, с весом Якоби, Лагерра или Эрмита) рассматривалость многими математиками, в частности Е. В. Ржавинской [32] и В. М. Федоровым [46] для полуоси с весом Лагерра, С. 3. Рафальсоном [30] и В. М. Федоровым [47] для всей действительной оси с весом Эрмита, Г. В. Жидковым [14], С. 3. Рафальсоном [31], Б. А. Халиловой [50], М. К. Потаповым [25, 26] и Е. В. Ржавинской [33] для отрезка с весом Якоби.
В случае, когда X - это единичная сфера в многомерном евклидовом пространстве, а структурные свойства функций описываются дифференциальным оператором Лапласа-Бельтрами, конструктивная характеристика Я-класса установлена С. М. Никольским и П. И. Лизоркиным [57]. Ранее в некоторых частных случаях эта оценка была получена С. Павелке [58].
В случае, когда X - это интервал (0, 1), а в качестве базиса в LV{X) выбрана система Хаара, прямая теорема аппроксимации (теорема типа Джексона) установлена П. Л. Ульяновым [45].
В многомерном случае Ь2{Х х ... х Хц), где Xi, i = 1
Наилучшим приближением прямоугольником в пространстве Z52,a,<5 называется величина
ЕП1П2 (/) = min ||/ - РП1 „2||,
ГП.1п2
где минимум берется по всем полиномам, спектр которых лежит в прямоугольнике еП1п2 = {(М) е Z], : 0 < к < пх, 0 < I < п2]
Наилучшим приближением углом в пространстве L2,ts называется величина
Уп1П2(Л = min ]|/ - РП1„2||,
РпП2
где минимум берется по всем функциям Рщп2(х1>х2) £ 7-2,а,S со спектром в угле Упт2 - Z+{(М) е Z+ : к>щ, I > п2)

Доказательство. Будем пользоваться тем, что для (равномерной) ограниченности диагонального оператора необходима и достаточна (равномерная) ограниченность его коэффициентов. [53, с. 37, 203].
Сдвиг VI) Используем ассимптотическую формулу [35, с. 207]:
r(2k+i) ехР (~J2l) Н2к Ш =
= cos (ZNkhi - 7Гfc) + щ-А2 sin (y/Nkhi -лк) + О (|) , где Nk = 4fc + 1, и оценка погрешности равномерна на любом конечном отрезке вещественной оси. Отсюда Н2к{Дч) < r+i? + + 0 (fc)) ТнЩ
Таким образом, ßk(hi) < ру; ’ щит)*
Сдвиг IV) Пусть сначала а,ß > — 1, 2/3 — 4а (k{hi) = (pt’ßl)) pka,ß)(l + hi)> если pka,ß)(D Ф
Ck(h-i) = oo, если Pfc“’(|) = 0.
Последовательность ßk{h) получается из последовательности £fc(r) путем отбрасывания членов, обращающихся в бесконечность. Таким образом, для доказательства нашего утверждения нам достаточно показать, что существует fco, такое что последовательность (fc(i) при к > ко не содержит членов, равных бесконечности, и ограничена равномерно по h G [0, 1/4).
Воспользуемся ассимптотической формулой Дарбу [35, с. 204]:
P{ka'ßcos 6») = к~1/2г(в) cos{Nk6 + 7) + 0 (fc“3/2),
где г(в) = (sin I)"“”5 (cos §)~ß~* , Vjt = к + £!±f±i, 7 = - (а + f) f, а оценка остаточного члена равномерна внутри (0,7г). При hi Е [0,1/4) выполнено в Е (arccos |; |]. Поэтому |r(ö)| <С 1.
Поскольку
A+7=(4fc-1+2/3-4а), (1)
то cos (A/t| + 7) принимает не более шести различных значений. Ни одно из них

не равно нулю, поскольку у нас 2/3 — 4а Z. Отсюда,
к, больших некоторого ко, т.к. г (|) > 0. Далее, поскольку VÖ 6 (arccos | (cosö)! < Ck-W + O (fc-3/2) < fc-1/2, то |C*(Ai)| = |ni“,/J)(0)|_1 pt’ßhi) « 1 при fc > fco равномерно по fci € [0; 1/4].
Пусть теперь 2/3 — 4a E Z. В этом случае вспомогательная последовательность (k(h 1) строится так:
Cfc(Ai) = (fc'i+Sjd)) ifc+®)(| + АО, если 0,
Cfc(Ai) = 00, если РЛ(“§)( |) = 0.