Инвариантные меры самоподобных фракталов и метрические свойства самоаффинных кривых

• Автор: Кравченко, Алексей Станиславович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 82 с.

1 Полнота пространства сепарабельных мер в метрике КанторовичаРубинштейна
§1. Основные определения
§2. Метризация пространства мер
§3. Основные теоремы о полноте пространства мер
§4. Приложения теоремы о полноте
2 Некоторые метрические свойства ципперов
§1. Ципперы и их параметризации
§2. Жордановы ципперы с ограниченным искривлением
§3. Вершины первого и второго типов
§4, Основные теоремы о самоподобных жордановых цнпперах
3 О гладкости самоаффинных ципперов
§1. Наборы линейных операторов, сжимающие конус
§2. Гладкие самоаффинные ципперы
§3. Примеры
Литература
Приложение А

История »опроса. Основные направления. Хотя геометрическая теория множеств целой и дробной размерности развивалась с начала прошлого века, но бурное развитие её развитие началось после публикации Мандельброта 1975 г. (см. |39|), впервые применившего эти множества для описания широкого круга научных явлений от молекулярных до астрономических, например: броуновское движение частиц, турбулентность в жидкостях, рост растений, география побережий и горных поверхностей, распределение галактик во вселенной и скачки цен на фондовой бирже. Множества дробной размерности встречаются но многих областях математики, таких как теория чисел и нелинейные дифференциальные уравнения.
Введённый Мандельбротом термин «фрактал» происходит от латинских слов fractws дробный и frangere ломать, что отражает суть фрактала, как «изломанного», нерегулярного множества. Мандельброт дал «пробное» определение фрактала как множества, Хаусдорфова размерность которого строго больше топологической размерности. Но Мандельброт также указал, что данное определение неудовлетворительно и не включает некоторые нерегулярные множества, которые необходимо рассматривать как фракталы.
Одним из крупнейших разделов фрактальной геометрии является теория самоподобных фракталов, берущая своё начало со статьи Дж. Хатчинсона «Fractals and Self Similarity» (см. [34|), и превратившаяся сегодня в обширный раздел математики с множеством ответвлений и приложений. Хатчинсон ввёл понятие инвариантного множества в полном метрическом пространстве как компактного множества, составленного из своих образов под действием некоторого конечного набора сжимающих отображений данного метрического пространства в себя. Такие наборы сжимающих отображений принято называть системами итерируемых функций (IFS), а их инвариантные множества аттракторами (см. рис. 5 6). Аттрактор системы сжимающих подобий называется самоподобным множеством, и, аналогично, аттрактор системы сжимающих аффинных отображений в банаховом пространстве называется самоаффинным множеством.
Хатчинсоном было предложено условие открытого множества (OSC), выделяющее в классе самоподобных множеств такие, которые имеют ненулевую конечную
меру Хаусдорфа. Для мііожсстіі удовлетворяющих OSC размерность Хаусдорфа совпадает с размерностью подобия, вычисляемой но простой формуле. Обобщения OSC, названные условиями отделимости, исследовались Баидтом (см. [20]), Шифом (см. [42],[43]), Зернером (см. [46]). Шифом была также установлена связь между различными условиями отделимости. Для систем аффинных отображений Фалконсром была введена аффинная размерность, совпадающая в случае выполнения OSC с размерностью Хаусдорфа инвариантного множества.
Для более детального изучения аттракторов IFS Хатчинсон предложил рассматривать меры на фракталах и ввел инвариантные меры системы сжимающих отображений, называемые также самоподобными мерами. Изучению самоподобных мер посвящено большое число статей, в частности, Бандта, Графа, Фалконе-ра, Морана и Рейя и др.
Некоторые из ннвариантых множеств являются непрерывными кривыми (см. рис. 7). Достаточное условие, когда аттрактор IFS является непрерывной кривой, было предложено Хатчинсоном. Первые; примеры самоподобных кривых были построены Кохом (1904) и Леви (1938). Самоподобные и самоаффшшые кривые изучались Астала, Бедфордом, Асеевым, Шалапшовым.
Одним из наиболее интересных классов фракталов являются самоподобные и самоаффинные тайлы, изучавшиеся Бандтом (см. [21],[22],[23]), Лагариасом и Вангом (см. [35],[36],[37]), Дуваллом (см. [29]) и др. Самоподобное (самоаффинное) множество, имеющее внутренность и удовлетворяющее OSC, называется самоподобным (самоаффинным) тайлом (от англ. tile — черепица) (см. рис. 8). Известно, что образами любого самоподобного тайла под действием отображений подобия можно покрыть всю плоскость R2 так, чтобы внутренности отдельных образов тайла не пересекались и их минимальный диаметр был строго больше нуля.
Известны различные обобщения IFS, такие как бесконечные системы итерируемых функций (IIFS) (см. [33]), конформные системы итерируемых функций. Среди различных обобщений особо стоит отмстить богатую теорию графоориентированных систем итерируемых функций (Digraph IFS), развиваемую Маулдином и Виллиамсом (см. [41]), Дасом, Нгаи, Эдгаром (см. [27],[28]) и др.
Методы фрактальной геометрии широко применяются в компьютерной графике, математическом моделировании, при построении новых разделов анализа,

Предложение 3.1.5 Пусть Л, В G GL2(R+), Fi(0) = гь F.j(l) = т2, с: = ||5e2||i/||Be2||b тогда
=Q(c,n,T2). (3.1.17)
Доказательство. Пусть ПЛеф, = о,, ||Ле2||, = а2, В = (bt]), ||Bex||i = Ри l|Be2||i = /?2. Из (3.1.9) получаем для г — 1,2
Ле* = ||Ле,|| • V>o ¥>(Л • ip{i - 1)) = а; ■ ip(FA(i - 1)) = • (1 - т;,г,)т.
Следовательно,
||ВЛс,|Ь = ш(Ьп(1 — Ti) + i)|2Tj| + |62|(1 “ В') + ^22 7"j | )
= CVi((6l1 + B-21 ) ( 1 — Tj) + (6,2 + 6-22 )n) — rv,(/li(l — Tj) + Ô-îTi).
Из свойства (3.1.15) вытекает равенство
Д(ВЛ) _ | det ВА |Вс.{ |J1 * | Вс2111 | clct Л| • /3,/32
А(В) \ВАе1\1-\ВАе2\,' | det 131 \ВАсл\х ■ \ВАе2\х '
Подставив | det Л j = Д(Л) • 11 Лех 111 • 11 Ле2| 11 = |т2 — т^оцаг, получим
Д(ВЛ) _ т2 - тх| • аа2Рр2 |т2 - т,|/3Х/32_
А(В) ЦВЛехЦх • 11i?Ле2111 |/?i(l — Ti) + 02Ti■ |/?i(l — т2) + /?2т2|
Подставив /?2 — сфi и сократив на , получим требуемую формулу (3.1.17). □
Предложение 3.1.6 Для любых Ti,t2 G [0, lj и с G (0, +ос) справедлива оцен-

Q(c,tx,t2) < max ( р—, --1 ^ 1. (3.1.18)
( 1 - Г, + СТ 1 - т, + СТ| J
При этом правое неравенство обращается в равенство только при тх G {0,1}.
Доказательство. Рассмотрим на множестве R х [0,1] х [0,1] функцию
,, v с-(п-т2)
jC, Т,,Т2) . ..
(1 - Т] + CTi)(l -т2 + ст2)
Вычислим частную производную
д£_ _ с -(1 - r2 + ст2) - (п - г2)(с - 1) _ с
<9г2 С (1 - г, + ст, )(1 - т2 + ст2)'2 (1 - т2 + ст2)'2 '