Метод графиков и проблема линейности для неограниченных мер на ортопроекторах

• Автор: Тимиршин, Марсель Рустэмович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 141 с.

Оглавление
Введение

ГЛАВА 1. Графики операторов

1.1. Определения и обозначения

1.2. Тригонометрические операторы Ат и Ут

1.3. Представления алгебр фон Неймана,

индуцированные графиками

1.4. Характеристическая матрица

ГЛАВА 2. Приложения метода графиков

2.1. Характеризации свойств операторов в терминах графиков

Общий случай

Случай Н = К ® К
2.2. Верхняя грань замкнутых операторов
2.3. Графики суммы, произведения и отношения операторов
Аналитический подход
Алгебраический подход
2.4. Прямые интегралы
2.5. Графики тензорного произведения и прямой суммы
ГЛАВА 3. Меры на ортопроекторах
3.1. Определения
3.2. Ортоидеалы и их свойства
3.3. О проблеме линейности для неограниченных мер
3.4. Проблема линейности для мер на ортоидеалах
Литература

Введение
Актуальность темы. Один из основных методов при изучении неограниченных линейных операторов в гильбертовых пространствах заключается в переходе от заданного оператора к ассоциированному с ним семейству ограниченных линейных операторов. В качестве известных примеров такого подхода можно привести характеризацию симметрического оператора его преобразованием Кэли, характеризацию самосопряженного оператора семейством значений его резольвенты или однопараметрическим семейством ортопроекторов, ассоциированным с его спектральным разложением единицы. В один ряд с вышеперечисленными инструментами изучения неограниченных операторов также следует поставить и метод графиков, который, однако, не получил столь широкого освещения в литературе. Частично восполнить этот пробел является главной целью предлагаемой работы.
Впервые графики операторов были введены фон Нейманом [1] при изучении фундаментальных свойств неограниченных линейных операторов. Позднее М. X. Стоуном [2] было введено понятие характеристической матрицы, ассоциированной с графиком замкнутого оператора, что позволило свести изучение неограниченных замкнутых операторов к исследованию ограниченных операторов.
Метод графиков оказался особенно полезным в теории возмущений линейных операторов и в изучении сходимости неограниченных операторов ([3, §1У.2], [4, §УШ.7], [5], [6]). С использованием граф-топологии было дано обобщение метода градиента для обычных линейных уравнений с ограниченным оператором на случай линейных уравнений с произвольным замкнутым неограниченным оператором [7]. Более того, в теории автоматического контроля граф-метрика оказалась наиболее подходящей метрикой для описания критериев устойчивости систем с обратной связью [8].

С применением графиков В. М. Мануйловым [9] был построен К-теорный непрерывный целочисленный инвариант для широкого класса неограниченных симметрических операторов. Также стоит упомянуть, что графики легли в основу теории прямых интегралов для неограниченных операторов ([10], [11]), что позволило свести изучение этой теории к исследованию прямых интегралов от ограниченных операторов.
Кроме того, техника графиков нашла неожиданное применение при исследовании проблем продолжения ортоаддитивных отображений, заданных на ортопроекторах. Так, Г. Дай [12] с помощью метода графиков показал, что проекторный ортоизоморфизм между ¥*-алгебрами определенного типа продолжается до прямой суммы *-изоморфизма и -антиизоморфизма. С другой стороны, Г. Д. Луговой совместно с А. Н. Шерстневым [13] с использованием конструкций, основанных на графиках компактных операторов, было показано существование неограниченной ортоаддитивной меры на ортопроекторах подходящей алгебры фон Неймана, которая не продолжается до веса.
В данной работе продолжена разработка техники графиков замкнутых операторов, а также приведены приложения инструмента графиков к теории неограниченных операторов.
Другое направление исследования предлагаемой работы связано с проблемой линейности в некоммутативной теории меры. Данная проблема состоит в изучении возможностей продолжения ортоаддитивных мер на ортопроекторах алгебры фон Неймана до линейных функционалов.
Впервые проблема линейности была поставлена и решена для факторов и унитарно инвариантных мер в классических трудах фон Неймана и Мюррея [14], [15]. В полном объеме программа продолжения таких мер до интеграла реализована И. Сигалом [16]. Проблема линейности для ограниченных ортоаддитивных мер, не обязательно унитарно инвариантных, была сформулирована Дж. Макки [17] в виде гипотезы, что каждая ортоаддитив-ная вероятностная мера на ортопроекторах алгебры всех ограниченных линейных операторов в гильбертовых пространствах продолжается до линейного функционала. Несколькими месяцами ранее выхода из печати статьи

Следствие 1.5. Пусть Q Е V{H). Тогда
(i) Q7Pi — Rpgii, Q/P2 = Rpç22;
(ii) Q/Pi = Rp(l - ç22)x, <3VP2 = Rp(l - Çn)X-
Лемма 1.8. Если Q € V{H), то
(i) (Rp Çn - Qf — (rp qn - çn) 0 ç22)
(RpÇ22 - Qf = Çii © (rpç22 - Ç22);
(ii) (Pi - QŸ = (1 - Çn) 0 Ç22;
(P2 — Qf = çn © (1 — ç22);
(iii) ((RpÇll)X - Qf = (çn ©Pkergn) © (1 - Ç22),
((Rp Ç22)J- - Qf = (1 - Çn) 0 (ç22 + Pkerg22)-
Доказательство. Рассмотрим произвольный ортопроектор р Е Р(К) такой, что р?> rp çn. Тогда qnp = çn и q2ip — ç2b поскольку rp ç21 rp qn P в силу (ii) леммы 1.6. С учетом этих равенств и леммы 1.5 имеем
(Rpp-Q?=(P~qi1 Яи) - —Ç21 — Ç22 J
(р - qn)2 + Ç12Ç2X -(p- çn)çi2 + Ç12Ç22
-Ç21 (P - Çll) + Ç22Ç21 Ç21Ç12 + ç22
(P ~ Çn + (—Ç11 + Ç11 + Ç12Ç21) —Ç12 + Ç11Ç12 + Ç12Ç22
—Ç21 + Ç21Ç11 + Ç22Ç21 Ç22
= (.p-qn 0
0 ç22y
Отсюда, полагая p = rp çn 11 p = 1, получаем первые равенства в утверждениях (i) и (ii) соответственно.
Первое равенство в утверждении (iii) следует из выкладки
((Rp«ii)x - QŸ = (n”®‘ ~ 511 “И
V —Ç21 1 — Ç22 J
( (Pkerg„ - Çll)2 + Ç12Ç21 (.Pkerqn ~ 9ll)912 ~ Çw(l " Ç22)
-Ç2l(Pkergn “ Çll) — (1 — Ç22)Ç21 Ç2lÇl2 + (1 ~ Ç22)2