Асимптотическое поведение линейных форм и сходимость совместных аппроксимаций Паде для некоторых классов марковских функций

• Автор: Сорокин, Владимир Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1982
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 149 c. : ил

ГЛАВА I. АСИМПТОТИКА ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ФОРМ ДЛЯ ОДНОГО

КЛАССА МАРКОВСКИХ ФУНКЦИЙ

§1. Общие замечания, основные формулы

§2. Особые ТОЧКИ фуНКЦИЙ ( X, 1А/)

§3. Особые точки функции ф С х, и/)

§4. Асимптотические формулы. Некоторые

обобщения

ГЛАВА II. О СОВМЕСТНЫХ АППРОКСИМАЦИЯХ ПАДЕ В СЛУЧАЕ КОНЕЧНОГО И

БЕСКОНЕЧНОГО ИНТЕРВАЛОВ

§1. Постановка задачи. Основные формулы

§2. Сходимость аппроксимаций Л'о (п/я)

§3. Асимптотика Функций Г»
Г Л А В А III. О СОВМЕСТНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ
НЕСКОЛЬКИХ ЛИНЕЙНЫХ ФОРМ
§1. Постановка задачи. Достаточные условия единственности
§2. Чисто диагональные аппроксимации
ЛИТЕРАТУРА

ВВВДЕНИЕ
В настоящее время вновь возродился интерес к рациональ-ным аппроксимациям, которые впервые подробно изучались Паде в работе L S 7] (см., также, С 131 ,1 ) . В то же время сейчас быстро развивается теория совместных аппроксимаций Паде с общим знаменателем. Аппроксимации Паде находят широкое применение в различных областях математики и её приложениях.
Так классические аппроксимации Паде связаны с такими теоре -тическими разделами как проблема моментов, ортогональные многочлены, аналитическое продолжение, интерполяционные задачи, спектральная теория операторов. Многие из этих задач берут своё начало в работах П.Л.Чебышёва и Т.Стильтьеса (Ьм.1/о],1Р1 Аппроксимации Паде применяются также в теории дифференциальных уравнений, вычислительной математике, теоретической физике. За последние годы было получено много новых результатов о классических аппроксимациях Паде (и близких к ним рациональных аппроксимациях). ('Смотри, например, работы А.И.Ап-текарева [ 16] Д /У] , В.В.Вавилова 12 0] , A.A.Гончара
12 1] ,[22], [23], В.К.Дзядыка С 2 4] , E. М. Никишина [301,
Д.В.Панникова Г 3 6] » Е. А.Рахманова С J £3,13 91, С.П.Суетина [ 6 о 3 , книгу Бейкера Е 4 4 3 , сборник статей Е^З.)
Совместные аппроксимации Паде определяются следующим обные в точке % = о функции (или формальные ряды по степеням З' ) :
разом. Пусть (7)
голоморф-
(0.1)
р=о

Пусть далее, а ~ Сп1 пк) и /п = ( т1,, т^ ) -
два мультииндекса. Требуется определить многочлены С2 с я) ,
-Р, (2) , >•••> Рц (2) , удоволетворяющие
следующим условиям:
о ^ О , Лду Сі * ті , ІЩ = П4 +■■■ + пк ;
Лед. Рі $ пі; , і = і, ■■■, к; (о. 2)
0(2) і (2) -Д(2) - С,-
Поставленная задача сводится к системе І п| линейных однородных уравнений относительно І П І ■+■ і неизвестных - неопределённых коэффициентов многочлена О, . Следовательно, решение задачи всегда существует. Заметим, что вообще говоря многочлен С} определяется условиями (0.2) неодно -значно С даже с точностью до множителя). В случае /• =• / мы приходим к задаче о классических аппроксимациях Паде. В этом случае дробь ^ (?) = р (%) /о (%) определена однозначно и называется аппроксимацией Паде функции ("ряда) ( 2 )
В общей ситуации дроби
Р- (2) . / .
уг, (г) = —1 , < = (о.з)
О (2)
определяются неоднозначно. Однако, среди всех многочленов О., удоволетворяющих условиям (.0.2) » существует единственный (с тосностью до множителя ) многочлен, тлеющий наймень -тую степень. Рациональные функции (о.з) , построенные
для этого многочлена, называются совместными аппроксимациями
-&одке. При ЭТОМ, ДЛЯ х £ В_ кривые Г. {х) гомотопны в Изучим кривую П Сэс) при х = 2' <г - / .. Эта кривая устроена следующим образом. Она выходит из точки ноль и вдоль положи -тельной полуоси идёт к точке а, = ( у/з) (4-+ и, , затем в 1-ом квадранте комплексной плоскости идёт к (з/з) (4-*-и* после чего в 4-ом квадранте возвращается в точку а, , затем вдоль положительной полуоси идёт к /// 7 I . Заметим, что
I-!— <Л- ^ 4-ни1 III Я ■/■+ и
Следовательно, индекс кривой Г_ Сх) относительно точки / равен - / , а относительно оо равен нулю. Мы можем сделать
вывод, что при изменении I—Ъ- Т'3 мы приходим к значению
/ С) отличному от первоначального значения / в этой точке. Аналогично, при изменении Т^ Н> МЫ приходим к
новому значению / ^ -гу У . Таким образом, фиксированная нами ветвь функции ф имеет в точке и/о ветвление первого порядка. Вычисляя предельные значения в точке и/0 всех функций,
входящих в выражение (1.2 1) , убеждаемся, что ф имеет
в точке и/о особенность типа г / /П7_ '
В окрестности точки - и/а (х) функция Ф ведёт себя также
как и в окрестности точки •
6° Пусть теперь х е ~Ва • Рассмотрим два случая
■х е В0гК - I х е Ва I Яе * >' °}

X е Во, 1_ - {х а В0 I Яех <1 о] ■
Общим участком границы двух замкнутых областей В0г п и ^ служит часть мнимой оси У = 1х=-4з1 5 Пусть х ^ В0)Л