Теоремы сравнения и однородности для субгармонических функций

• Автор: Хабибуллин, Булат Нурмиевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1985
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 105 c. : ил

§ I Предварительные сведения

и специальные обозначения

§ 2 Теоремы сравнения для субгармонических функций без предположений о "близости"

ассоциированных мер

§ 3 Теоремы сравнения для субгармонических

функций

§ 4 Теоремы однородности для субгармонических

функций

§ 5 Применение теорем сравнения, к субгармоническим

функциям
§ 6 Применение теорем сравнения к целым функциям
Литература

Вопросы асимптотического поведения субгармонических функций и лагорифма модуля аналитических функций а также их разностей занимают одно из центральных мест в общей теории субгармонических и аналитических функций. Важной частью этой проблемы является получение оценок разности субгармонических функций при известном поведении соответствующих ассоциированных мер. Поскольку добавка гармонического слагаемого к функции Ьс не пеняет ассоциированной меры, исследование поведения и* в данной постановке возможно только с точностью до гармонического слагаемого. Кроме того, оценки могут быть получены только вне некоторого исключительного множества, так как функция ^ может принимать бесконечные значения в некоторых точках своей области определения
В работе в основном рассматриваются функции — I*%,
где 1с4 и и % субгармонические на всем М -мерном евышдовом пространстве . Поведение функции
изучается главным образом в терминах ассоциированных мер /V** 1редставление о важности этой тематики может дать перечень авторов, к ней причастных: Ж.Адамар, А.Картан, У.Хейман, Б.Я.Левин, ЩПфлюгер и многие другие (см., например, [1-Ю] ). Однако,в
шречисленных выше и других работах рассматриваются не все воз-южные ситуации, в частности, либо не полностью учитывается ’близость" ассоциированных мер ум.( и уи^ } либо делаются допол-штельные предположения об их "близости" (см. [I] , [6-8] , [ю] ).
Наша работа посвящена изучению влияния "близости" распределе-[ий масс уК { и уи.2 субгармонических функций ЪС< и на
;ходство их асимптотического поведения и связанных с этим задач, [олученные результаты могут быть использованы в таких областях

комплексного анализа, как теория целых и мероморфных функций, теория рядов Дирихле, теория аппроксимации, задача спектрального анализа и синтеза, в мультипликативной теории функций и могут представлять интерес для специалистов в указанных областях, работающих в Харькове, Ленинграде, Ростове, Москве, Львове, Уфе.
Содержание диссертации изложено в шести параграфах.
В первом параграфе приведены обозначения и классические результаты, которые в последующих параграфах используются без пояснений.
Второй параграф содержит результаты, касающиеся оценок разностей субгармонических функций в терминах ассоциированных мер без каких-либо предположений о их "близости".
Результаты этого параграфа (теоремы 2.1, 2.2) носят иллюстративный характер. Они предназначены для того, чтобы показать, насколько улучшаются оценки разности субгармонических функций, когда есть дополнительная информация о "близости" их ассоциированных мер (см. §3). Из теорем 2.1 и 2.2 следуют оценки снизу для субгармонических функций в терминах ассоциированных мер.
В дальнейшем мы используем оценки снизу в терминах максимума на сфере (окружности), которые приводятся в виде теорем 2.3 и 2.4 в конце параграфа.
Оценками разностей и оценками снизу занимались многие авторы (см. [1-6] , [12-13] ). Наши оценки отличаются от известных более полным описанием исключительных множеств. Для описания исключительных множеств используются две леммы о, так называемых, нормальных точках, которые используются на протяжении всей диссертации. Метод доказательства лемм и метод их использования является модификацией метода £ -нормальных точек Хеймана (см. [23], [9-Ю] , [6-8] ), восходящего к известной лемме А.Картана об оценке многочлена снизу (см. [I] ).

61X1
$ рп. С ю^))о(^(у) (ЗЛО)

Пусть Д, Д - две неотрицательные борелевские функции на 1К и точка X является (/<$)- нормальной относительно и
(^2/б) - нормальной относительно IV , т.е.
^ (х)^'1 , *<6(х)!М,
IV(х,*) =< //% Ь""-' ь 1*1
Отсюда, интегрируя по частям и используя оценку (ЗЛ), получаем
для интеграла из (3.9)
61X1
рт (?У) оС^и(Х^) < £ ^Х;ё№) +

(9/21
бт',хГ-'Уи
Аналогично для интеграла из (ЗЛО) 61X1

! т ( 0О//(Х/)^ С (Ъ 6/Х)
О '
бх
Следовательно, из (3.9) и (ЗЛО) вытекает
«Я л (б)
рт (Х)')рК&а+ ——■) (3.11)
лб(
для всякой точки X , которая [Д V) - нормальна относи-