Проблема продолжения функций при ограничениях на градиент

• Автор: Клячин, Алексей Александрович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Волгоград
• Количество страниц: 179 с.

Глава I. Подготовительные результаты

1.1 Псевдометрические пространства

1.2 Лоренцевы искривленные произведения

1.3 Уравнение максимальных поверхностей

Глава II. Продолжение функций при ограничениях на градиент

2.1 Продолжение липшицевых функций в псевдометрических пространствах

2.2 Финслерова метрика

2.3 Сравнение с евклидовой границей

Глава III. Изотропные гиперповерхности и минимальные продолжения липшицевых функций

3.1 Изотропные поверхности в искривленных лоренцевых произведениях

3.2 Существование и единственность изотропного продолжения

3.3 Множество единственности и изотропные поверхности
Глава IV. Решения с особенностями уравнения максимальных поверхностей
4.1 Постановка задачи
4.2 Поведение двумерных максимальных поверностей на бесконечности
4.3 Теоремы единственности
4.4 Существование максимальных поверхностей с заданным вектором потока
Глава V. Существование решений с особенностями уравнения поверхностей заданной средней кривизны в пространстве Минковского
5.1 Постановка задачи
5.2 Множество (3(ip,A)
5.2 Граничные точки можества 0(ip, А)
5.3 Предварительные утверждения
5.4 Единственность и устойчивость
5.5 Гомеоморфность отображения д
5.6 Основная теорема
Глава VI. Асимптотическое поведение решений уравнения поверхностей заданной средней кривизны
6.1 Оценки скорости стабилизации ограниченных решений
6.2 Поведение решений на бесконечности
Список литературы
любых х,у £ д£1з.
Мж) ~ <р(у)I < Лп(х,у)

ф(х) - (р(у) < ба(х,у),
если Г(ж, у) П £1 ф 0.
IV. Пусть }т{х) : £2 —> Л, т = 1,2,... — С2-гладкие функции такие, что найдется постоянная Но > 0 для которой
ШЫШ < Но Ухей
и /т равномерно сходятся к / при га —> оо. Тогда
а) если существует последовательность точек {хт} СС й такая, что ^/т(жт)| —» 1 при га —> оо, то для любой ее предельной точки хо найдутся точки х', у' £ <90 такие, что хо 6 х'у' и
1/0*0 - Ду')| = х' -у'\
б) если <2 [/т] -» 0 в .£/(£1), то / максимизирует площадь в О и удовлетворяет уравнению максимальных поверхностей в О Б, где 5 множество точек отрезков ху С О, х, у £ <90 таких, что |/(х)—/(у)| = х—у > 0.
Теперь, основываясь на сформулированные утверждения, докажем вспомогательную лемму, которой мы неоднократно будем пользоваться в дальнейшем.
Лемма 1.6 Пусть функция / : Л" —» И. удовлетворяет в ППК уравнению (1.11) и |/(ж1) — /(жг)! < |т1 — Х2 для всех х,Х2 £ К. Тогда найдется вектор £ £ Л", |£| < 1, такой, что функция /(ж) — {£, х) ограничена либо сверху, либо снизу.
Доказательство. Рассмотрим, для некоторого натурального гао, последовательность шаров Вт, радиуса га = гао + 1, гао + 2,... таких, что