Сильная асимптотика аппроксимаций Паде и интерполяционных многочленов

• Автор: Христофоров, Денис Викторович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 57 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Равномерное приближение аппроксимациями Паде мероморф-ных функций марковского типа
1.1 Исторический обзор и основные результаты
1.2 Явление ложной интерполяции
1.3 Равномерное приближение при помощи аппроксимаций Паде
2 Сильная асимптотика двухточечных аппроксимаций Паде для мероморфных функций марковского типа с двумя точками ветвления
2.1 Исторический обзор и основные результаты
2.2 Краевая задача Римапа
2.3 Формулы сильной асимптотики
3 Асимптотические свойства интерполяционных многочленов
и аналог теоремы Сегё
3.1 Исторический обзор и основные результаты
3.2 Обобщенная формула Коши-Адамара и сильная асимптотика интерполяционных многочленов
3.3 Обобщенная теорема Сегё
Список литературы
Список обозначений
СШ(21,22',2),
Г+(С),
^-(0. ю
с«(С), ю ^(2)(С), ю
До(/), 44 Я»,
І), 7, 38 £)0), 10, 38 £>(2), 10, 38 Я,
<іАі(г), 12 /п, б, 37 10, 38 г*2), Ю, 38 А,

£, 10,

72-п,
5, 6 Сл, 43 X, 10, 37 А,

П(гі,г2-,г), 13 Ф(2), 38, 43 /пі
ОД, 8 С[г], 8 аь 10 Ьі, 10 г, 10, 38 сар(іі'),
Ші(оо), 11 ч(оо), 12 А,
сг(ж,2/),
(Ю(оо^1), оо®; г),

Введение
Понятие локально наилучших рациональных аппроксимаций степенного ряда впервые возникло в конце XIX в. в работах Фробениуса [27] и Паде [35]. Классические результаты Чебышёва, Маркова и Стилтьеса о фундаментальных свойствах таких рациональных функций, сформулированные в терминах непрерывных дробей, положили начало развитию новой области в теории рациональных приближений. Во второй половине XX в. появилось большое количество работ, связанных с аппроксимациями Паде и их обобщениями. Такой интерес объясняется широким применением рациональных приближений в задачах механики, теоретической физики, технических расчетах (см. [23], [29], [36], [37], [33], [28], [12]). В ряде случаев хорошо известно поведение физической величины в локальной окрестности одной или нескольких точек и необходимо ее вычислить на некотором интервале значений. Аппроксимации Паде строятся только по локальным данным и позволяют эффективно приближать и вычислять соответствующую функцию. Асимптотическое поведение аппроксимаций Паде позволяет проводить анализ глобальных свойств локально заданной функции: находить расположение и распознавать характер ее особенностей, исследовать свойства аналитического продолжения и т.п.
Настоящая диссертация посвящена сильной асимптотике диагональных аппроксимаций Паде и интерполяционных многочленов, являющихся частным случаем рациональных приближений. Сильная асимптотика дает возможность определить поведение отклонения аппроксимаций от приближаемой функции при увеличении порядка аппроксимаций. Такая асимптотика позволяет делать выводы о скорости сходимости, поведении нулей и полюсов аппроксимаций, получать результаты теоретикочислового характера.
Диссертация состоит из трех глав, в начале каждой из которых приведены основные определения, дан краткий исторический обзор и сформулированы основные результаты. Первая глава тесно связана с изучением явления так называемых ложных полюсов, препятствующих равномерной сходимости аппроксимаций Паде . На основании теоретических

Введем класс Т — {f(z)} функций следующего вида:
1 d(x)
+ r(z), г Є С,
(2.1)
z — х

(2.2)
комплекснозначная функция р 6 Н(А), р ^ 0 на Д, рациональная функция г 6 С(г) голоморфна на Д и г(оо) = 0. Здесь под ги+{х) подразумевается предельное значение выбранной в области Л ветви корня при 2: —> х слева от отрезка Д.
Функции из класса Т мероморфны в области Л := С Д. Будем называть их мероморфными функциями марковского типа. (ср. (1.6)). Классу Т принадлежат, в частности, функции вида
при надлежащих ограничениях на г и г
Исследования аппроксимаций Паде функций вида (2.1) начинаются с классических результатов A.A. Маркова [33]. При г = 0 и произвольной конечной положительной мере А Марков доказал локально равномерную сходимость в области Л диагональных аппроксимаций Паде функции / (2.1) в точке z — оо. В работах Г. J1. Лопеса и А. А. Гончара [9], [8], [13] аналогичный результат был получен для случая многоточечных аппроксимаций Паде при условии симметричности таблицы интерполяции относительно вещественной оси и надлежащих ограничениях на функцию г. При этом была получена асимптотика корня п-й степени функции ошибки - отклонения аппроксимаций от исходной функции (так называется “слабая” асимптотика аппроксимаций Паде). Наконец, Л. Барашарт и М. Л. Ятцелев [24] доказали сходимость по емкости многоточечных аппроксимаций Паде к исходной функции для случая комплексной меры
В настоящей главе изучается сильная асимптотика двухточечных аппроксимаций Паде, позволяющая выявить более тонкое поведение функции ошибки. Первая достаточно общая теорема в этом направлении принадлежит В. Тотику [43]. Используя экстремальные свойства ортогональных многочленов, он вывел в явном виде формулу сильной асимптотики для случая вещественной меры А при г = 0. Первые методы исследования для случая комплексной меры, основанные
/О) = 7~т4 + r2{z) , r1,r2eC{z)

(2.3)