Спектральный анализ дифференциальных операторов с нелокальными краевыми условиями

• Автор: Шелковой, Александр Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 144 с.

Список обозначений

1 Общая схема метода подобных операторов в исследовании некоторых классов возмущенных самосопряженных операторов

1.1 Метод подобных операторов и теорема о расщеплении

1.2 Блочная диагонализация по изолированному спектральному множеству

1.3 Блочная диагонализация и равносходимость спектральных разложений

1.4 Метод подобных операторов для дискретных самосопряженных операторов

2 Спектральный анализ дифференциальных операторов с нелокальными краевыми условиями
2.1 Оценки собственных значений и собственных функций одного класса дифференциальных операторов с нелокальными краевыми условиями
2.2 Асимптотика собственных значений и равносходимость спектральных разложений дифференциального оператора второго порядка с периодическими нелокальными краевыми условиями

2.3 Приложения к интегро - дифференциальным операторам с вырожденным ядром

2.4 Приложения к интегро - дифференциальным операторам с

интегрируемым с квадратом ядром
Литература

*t;
Список обозначений
N - множество натуральных чисел
Z - группа целых чисел
М - поле действительных чисел
С - поле комплексных чисел
ст (А) - спектр линейного оператора А
р{А) - резольвентное множество оператора А
R(v, А) - резольвента оператора А в точке v є р(А)
А | Но - сужение оператора А на подпространство Но Р(сг0, А) - проектор Рисса оператора А, построенный по спектральному множеству сто из сг(А)
Н - комплексное гильбертово пространство
End Н - банахова алгебра линейных ограниченных операторов
(эндоморфизмов), действующих в Н
Са{Н) - банахово пространство операторов, подчиненных А, с нормой || • |Ц
(72 (Н) - идеал операторов Гильберта - Шмидта, действующих в Н, с нормой || • ||2
І2 - гильбертово пространство последовательностей, суммируемых с квадратом
Li2[a] Ъ] - гильбертово пространство функций, интегрируемых с квадратом на отрезке [а, Ъ
Я - банахово пространство возмущений, которому принадлежит оператор В, с нормой || • ||*
Для исследования спектральных свойств оператора (2.1.6) представим его в виде
С*х — Ах — Вх — В2Х. (2-1.7)
Оператор А. порождается дифференциальным выражением
Ах = —х, х £ Р(А), (2.1.8)

* £>(А) = {а:бХ2[0;1]:а;,®еС[0;1]> ге^2[0;1], а(0) = (1) = 0}. (2.1.9)
Отметим, что А - самосопряженный оператор с дискретным спектром, собственные значения которого А„ = ж2п2, п £ Н, являются простыми, а соответствующие собственные функции еп{Ь) = у/^зътпгпЬу п £ М, образуют ортонормированный базис в £2[0; 1] (см-) например, [39]).
Операторы В и В2 на области определения И(А) задаются соотношениями
{В1х)(г) = -®(1)а1(<); (2.1.10)
* (-В2®)(*) = ж(О)ао^),
где х £ И (А), £ 6 [0; 1].
Имеют место следующие вспомогательные утверждения.
Лемма 2.1.1. Оператор В : Ю(А) С Ь2[0; 1] —>■ Ь2[0; 1] (В — В1 + В2)
представим в виде:
В = В0А, (2.1.11)
где В0 £ <72(£2[0; 1]) (оДТ^О; Ч) ' иДеал операторов Гильберта - Шмидта,
действующих в гильбертовом пространстве 1-2[0; 1]), и
1ь ЦДЛоР^Ц < оцр}, ,1)1 = 1)2,... , (2.1.12)