Лагранжевы подмногообразия и интегралы по нильпотентным орбитам

• Автор: Гинзбург, Виктор Александрович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 124 c. : ил

Хорошо известно, что всякое коммутативное кольцо полезно представлять геометрически как кольцо функций на подходящем многообразии (спектре кольца). Эта точка зрения широко применяется как в алгебре (алгебраическая геометрия), так и в анализе (теория банаховых алгебр). Многочисленные достижения упомянутых дисциплин подтверждают целесообразность геометрического подхода. Поэтому хотелось бы распространить этот подход и на некоммутативную алгебру. В настоящее время адекватного, геометрического языка для задач некоммутативной алгебры не известно. Однако, имеется целый ряд как физических, так и математических аргументов, указывающих на его существование. В частности, одной из целей данной работы является попытка разобраться в геометрии, лежащей в основе раздела некоммутативной алгебры, относящегося к теории представлений групп и алгебр Ли.
Напомним основные моменты этой теории. Одной из ее важнейших задач является описание всех неприводимых,(вообще говоря, бесконечномерных) представлений заданной группы Ли G
Обратимся сначала к случаю, когда группа G компактна. Неприводимые представления такой группы обязательно конечномерны.

Их полное описание было получено в классических работах Софуса Ли,

Эли Картана и Германа Вейля. Пусть Т - максимальный тор в группе G . Согласно картановской теории старших весов, неприводимое представление однозначно определяется своим старшим весом -- гомоморфизмом Д ■ Т —* £* тора Т в группу комплексных чисел. Соответствующее представление реализуется в виде подпространства в пространстве сечений одномерного расслоения на однородном многообразии G/T Именно, рассмотрим главное Т -расслоение G —*G/T

Пусть %х - ассоциированное линейное расслоение, отвечающее одномерному представлению Л тора Т, Группа G естественно действу1 ет на сечениях Йд. Далее, на многообразии Следующим шагом явилось построение в начале пятидесятых годов неприводимых представлений группы Лоренца (т.е. группы G

SL (С) комплексных 2*2 -матриц с определителем L ) и его

обобщение на другие комплексные полупростые группы Ли /5/. Именно, в группе (С ) рассмотрим подгруппу В- верхнетреугольных матриц и подгруппу Т С В диагональных матриц. Так же как и в случае компактных групп, представление G связывается с каж-дым гомоморфизмом Л : Т —* С . Гомоморфизм Л прежде всего тривиально продолжается на треугольную подгруппу В> . По этому одномерному представлению группы В строится линейное расслоение Лд на G/ В , ассоциированное с главным В -расслоением G G/fi. Естественное действие группы G в пространстве всех квадратично--интегрируемых сечений расслоения Хд задает искомое представление . Оно называется индуцированным представлением с подгруппы В , а также представлением основной серии. Пространство этого представления естественно отождествляется с пространством функций на G , удовлетворяющих условию : ÿ (9- i) = Л (О* KîJ ,
G, и в
Можно показать, что для общих значений параметра J представление Хд неприводимо. Однако, для некоторых вырожденных Л оно становится приводимым и распадается на конечное число не-

приводимых подпредставлений. Далее;в случае группы Лоренца (у -б и 2 С С) , доказывается, что получающиеся таким образом
неприводимые представления (при всевозможных Д , включая и вырожденные) исчерпывают список неприводимых представлений. Для более общих комплексных полупростых групп & / это уже
не так. Однако, как показал Хариш-Чандра /ЗУ/, представлений основной серии с невырожденными Д всегда достаточно для разложения регулярного представления (т.е. представления группы Су в 1Л&) посредством левых сдвигов). Это означает, в частности, что представления с невырожденными Л образуют подмножество полной меры в множестве всех неприводимых представлений (на котором имеется естественная мера Планшереля).
Дальнейшее продвижение в теории неприводимых представлений связано с методом орбит. В своей диссертации /14/ А.А.Кириллов впервые применил этот метод для классификации неприводимых унитарных представлений произвольной нильпотентной группы Так же,, как в случае комплексных полупростых групп, неприводимые представления группы 9 строятся в виде представлений индуцированных с одномерных характеров А : Р —'С некоторых
подгрупп Р ^ (Я Роль метода состоит в точном указании необходимых подгрупп Р и характеров Д. Именно, рассмотрим алгебру Ли 0^ группы & и произвольный линейный функционал £ на векторном пространстве ^ . По функционалу ^ выбирается подалгебра Ли £> с ^ , обладающая свойством р и в определенном
смысле максимальная среди подалгебр с этим свойством. Подалгебра р называется поляризацией Группа Р , участвующая при построении индуцированного представления с£(Р Д), по определению есть подгруппа в & , алгебра Ли которой совпадает с Ь , а ха-

Основной результат этого параграфа составляет
Теорема І.І. /7/ Пусть С есть такая деформация алгебры ($~к[*3] , что
1. отображение С1 ф СС і 3 3 х Ф £^33-»$ (Ті ^непрерывно по обоим аргументам;
2. совпадает со скобкой Пуассона *1 »
3. Ігсг^в лежит в центре алгебры с/сап.
Тогда деформация С эквивалентна IV.
Замечание. Если С - деформация алгебры , то коммутатор
определяет, очевидно, деформацию алгебры Ли относительно скобки Пуассона {', * ] .В /47/ доказано, что всякая дефюрмация пуассоновой алгебры Ли эквивалентна и/(э^)-к/ф Таким образом, наша теорема является естественным дополнением к /47/. Оба результата, однако, независимы и не сводятся один к другому.
1.2. Доказательство. Рассмотрим ксСр/2г/і)] как алгебру Ли со скобкой Пуассона в качестве коммутатора. Подпространство к однородных многочленов от |=>, ^ степени 2 является подалгеброй Ли в , изоморфной Ар^к) . Действие Ар^ік) в *33 есть стандартное действие Л ; Т индуцированное естественным представлением ( к) в простдействует только на координаты р яр). Введем обозначение и рассмотрим
деформацию с {Ф, ¥0* I алгебры Ли Ц (в силу условия 2 ^ С0 Ф) ~ [Ф/ V) ).
Лемма 1.2. Существует деформация В , эквивалентная С и такая, что ограничение В на подалгебру Ь тривиально, т.е
У ^ к •
ранстве