Спектральные свойства диссипативных операторов в идефинитных пространствах

• Автор: Барсуков, Андрей Иванович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 87 с.

Введение
СОДЕРЖАНИЕ

Глава I. Инвариантные подпространства диссипативного оператора в конечномерном пространстве Понтрягина
§ 1. Пространства с индефинитной метрикой
§ 2. Структура невырожденных корневых подпространств,
инвариантных относительно диссипативного оператора 20 § 3. Максимальные семидефинитные подпространства, инвариантные относительно диссипативного оператора
Глава II. Подобие между максимальными диссипативными и сжимающими операторами в индефинитных пространствах и максимальными диссипативными операторами и сжатиями в гильбертовом пространстве
§ 1. Диссипативные операторы сжатия в пространстве Понтрягина
§2. Бисжимающие операторы в пространстве Крейна
Глава III. Задача Коши с диссипативным оператором в пространствах Крейна и Понтрягина
§ 1. Условия равномерной корректности задачи Коши
§ 2. Свойства разрешающих полугрупп задачи Коши
Литература

Введение
Со знаменитой работы Понтрягица JI.C. [38] начинается интенсивное развитие теории операторов в пространствах с индефинитной метрикой. Основные результаты этой теории освещены в целом ряде обзоров и монографий. Геометрия индефинитных пространств подробно рассмотрена в работе Гинзбурга Ю.П. и.Иохвидова И.С. [18] и книге J. Bognar [52], теория операторов в этих пространствах в обзорах Иохвидова И.С. и Крейна М.Г. ([24], [25]), Азизова Т.Я. и Иохвидова И.С. ([5], [6]ф монографии Т. Ando ([47]), монографии Иохвидова И.С., Крейна М.Г. и Лангера Г.К. ([57]), обзорной статье Лангера Г,К. [58], монографии Азизова Т.Я. и Иохвидова И.С. [7]; приложения этой теории к дифференциальным уравнениям в банаховом пространстве и квантовой теории поля изложены в монографиях Далецкого Ю.Л. и Крейна М.Г. [20] и К. Надя [37], соответственно. Подчеркнем, что в приведенных работах речь идет о бесконечномерных абстрактных пространствах, в то время как линейные преобразования в конечномерных пространства с индефинитной метрикой изучались еще в конце прошлого века (Фробениус), а интегральные 7Г-самосопряженные (в современной терминологии) уравнения рассматривались в 30-е годы XX века (Крейн М.Г.). Интерес к ’’конечномерной индефинитной теории” и ее приложениям наблюдается и в наши дни (см., например, монографию I. Gohberg, P. Lancaster, L. Rodman [55J).
Видное место в связи с широкими возможностями для приложений занимает теория диссипативных операторов и связанных с ними преобразованием Кэли сжатий в индефинитных пространствах (в дальнейшем называемых ./-диссипативными операторами и ./-сжатиями, соответственно). Матричной теории .7 сжатий посвящена известная работа Потапова В.П. [39], породившая ныне целое направление в теории операторов в связи с приложениями к теории функций. Интерес тс ./-диссипативным операторам возник значительно позднее и их система-

тическое изучение началось с работ Азизова Т.Я. [1], Крейна М.Г. и Лангера Г.К. [28], хотя в связи с вопросами теории устойчивости они появились еще в монографии [20]. Существенный вклад в теорию ./ диссипативных и /-сжимающих операторов и их приложений внесли указанные выше работы, а также работы Гинзбурга Ю.П. [15] , Бродского М.Л. [14], Крейна М.Г. и Шмульяна Ю.Л. ([31], [30]), Иохви-дова И.С. [23] , Шмульяна Ю.Л. [44] , Иохвидова Е.И. ([21] , совместно с Азизовым Т.Я. [4] ), Иохвидовых Е.И.и И.С. [22] , Хацкевича В.А. [42], Костюченко А.Г. и Шпаликова А.А. [26] , Шпаликова А.А. ([45], [46]), Баскакова А.Г. и Юргеласа В.В. [13], Ran и Temme [62] , Temme [65] и многие другие. Подробнее о работах до 1984 г. см. библиографию в [6] и [7]. Отметим, что в исследовании операторов важным моментом является изучение его структуры. В частности, как известно, каждая матрица допускает жорданово разложение. Специфика этих разложений для ,7 унитарных операторов изложена в учебнике Мальцева А.И. [34], для /-самосопряженных операторов в монографии I. Gohberg, P. Lancaster, L. Rodman [55] и статье Azizov T.Ya., P. Binding, J. Bognar, B. Na-jman [49] , для /-диссипативным операторов в работах Ran и Temme [62] и Temme [65] (в двух последних с частичным использованием наших результатов) . Интересный аспект в связи с задачей Коши отмечен в работе Свиридюка Г.А.и Сухановой М.В. -[40].
Кроме того, ” индефинитный подход” оказался эффективным при отыскании классов операторов (и полугрупп операторов), подобных сжимающим операторам (и полугруппам сжатий) в гильбертовом пространстве.
В работе Sz.-Nagy -[64] доказано, что каждая равномерно ограниченная группа операторов, действующих в гильбертовом пространстве, подобна группе унитарных операторов. Аналогичная гипотеза относительно полугрупп сжатий не подтвердилась (см. Foguel [54] и Packel [59] ). Эта проблема (с дополнительными условиями на операторы, входящие в полугруппу) упоминалась в работе R Halmos [56] и получила

ность подпространств Л4~ (1 < г < т). Из леммы 3.4 получаем Л неотрицательность подпространства М о = М ++1 + ... + М „+.га1 и неположительность подпространства М. $ = М. “+1 + ... + М. т+т По лемме 3.2 заключаем, что М. I Л-ортогонально (г, у — 0,1
М.+ является Л-неотридательным подпространством £п, а М. ~ является Л неположительным подпространством £п.
Так как АМ. f С Mf,тo А4± - А-инвариантное подпространство £ ".
Из леммы 3.1 следует, что Л4 1 - А-инвариантное максимальное Л - неотрицательное подпространство £" М ~ - А-инвариантное максимальное Л-неположительное подпространство £ ".
Отметим, что методы использованные в доказательстве последней теоремы нашли частичное применение в работах [62] и [65].