Экстремальные задачи теории однолистных функций

• Автор: Костюченко, Евгений Викторович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Владивосток
• Количество страниц: 67 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Глава I. Неравенства для модулей колед
§ 1. Предварительные сведения
§ 2. Обобщения задач Греча и Тейхмюллера
§ 3. Принцип частичной симметризации
Глава II. Теоремы покрытия и искажения
§ 1. Неравенства для однолистных функций
§ 2. Приведенный модуль н двуточечные теоремы искажения
§ 3. Теоремы искажения с п-кратной симметрией
Глава III. Задача об экстремальном разбиении круга
§ 1. Необходимые условия экстремума
§ 2. Построение вспомогательной функции
§ 3. Исследование на экстремум
Литература
Приложение
Введение
Результаты, содержащие оценки разного рода функционалов, играют ключевую роль в теории однолистных функций - основополагающем разделе геометрической теории функций. На протяжении XX-го века исследованием экстремального поведения объектов в рамках данной теории занимались: П. Кебе, Л.Бибербах, К.Левнер, X. Греч, И. Е. Базилевич, Г. М. Голузин, В. К. Хейман, И. М. Милин, Н. А. Лебедев, Дж. А. Дженкинс и многие другие математики.
Одним из актуальных направлений исследования в теории однолистных функций являются неравенства, связывающие модули функций-представнтелей заданных классов, их производные и значения аргумента (теоремы покрытия и искажения). В ходе развития теории был разработан ряд специальных методов, применяемых при доказательстве теорем покрытия и искажения: параметрический метод, вариационный метод, метод экстремальных метрик, метод симметризации и другие. Значительный прогресс в этом направлении за последние десять-пятнадцать лет связан с развитием метода экстремальных метрик и теории емкостей конденсаторов, включая исследования асимптотического поведения конденсаторов общего вида. При этом был разработан аппарат приведенного модуля, построены новые симметризационные преобразования, изучена связь емкости и модуля семейств кривых. Результаты теории находят многочисленные применения во многих разделах математики, особенно -в математической физике и теории потенциала.
Другим направлением исследования в теории однолистных функций являются задачи об экстремальном разбиении. Под этим названием объединены задачи нахождения верхней грани сумм вида ад АД + адАД +
• • • + апМп , где ад. - заданные положительные числа, а АД. - модули или приведенные модули попарно неналегающих областей, удовлетворяющих определенным условиям. На сегодняшний день задачи об экстремальном разбиении имеют богатую историю, началом же направления считается

известная теорема М. А. Лаврентьева о произведении конформных радиусов неналегающих областей. Пути дальнейшего развития этого направления обозначены целой серией нерешенных проблем, в числе которых до недавнего времени оставалась задача Г. В. Кузьминой об экстремальном разбиении круга на три неналегагощпе области.
Среди современных исследовании в области экстремальных задач теории однолистных функций отметим работы П.Дюрена, Г. В. Кузьминой, Д. В. Прохорова, Д. Минды, А. 10. Солынина, В. Н. Дубинина, А. Ю. Васильева.
Целью диссертационной работы является получение новых неравенств для модулей колец общего вида, новых теорем покрытия и искажения, а также доказательство гипотезы Г.В. Кузьминой об экстремальном разбиении круга на три неиалегающие области.
В первой главе изучаются неравенства для модулей колец (под кольцом мы понимаем произвольную двусвязную область). Каждое из таких неравенств влечет за собой оценки искажения при отображении кольцевых областей регулярными функциями, поскольку любую двусвязную область с невырожденными граничными компонентами можно интерпретировать как образ кругового кольца при некотором однолистном отображении. Примеры подобных приложений имеются в работах Дж. А. Дженкинса, Т. Кубо, Н. А. Лебедева, Г. В. Кузьминой, В. А. Шлыка.
Первый параграф главы носит вспомогательный характер. Здесь собраны сведения из теории емкостей конденсаторов, необходимые для дальнейшего изложения.
В начале второго параграфа сформулированы классические результаты Греча и Тейхмюллера для модулей кольцевых областей, а затем доказаны их обобщения в терминах емкости конденсатора. Дадим, предварительно, необходимые определения.
Определение 1.1.1. Конденсатором на сфере С2 называется всякая

Для доказательства неравенства (2.2.3) сравним приведенные модули при отображениях w = f(z) и w = l(z). Положим Z = {a,b}, А = {+1,-1}, ф = {г,г), W — {/(a),/(b)). Из свойств приведенных модулей следует
M(G, Z, А, Ф) + i- log I/'(a)f'(b)| = M(f(G), W, А, Ф) ^
^ M(C„,W,A,V) = —log jf (a) - f(b) |2.

Для функции w = l(z) в данной цепочке имеет место равенство (лемма 2.2.3). Что и требовалось доказать.
Рассмотрим частный случай неравенства (2.2.2), когда область G есть круг U c=f (г : |~| < 1). Обозначим через d(zi,z2) = arth |(^i — r2)/(l — ^i~2)| гиперболическое расстояние между различными точками z и z2 круга U. а через ( = ((z) = (zeгв + zх)/(1 + zel9zi)~ дробно-линейное отображение круга U на себя, которое при подходящем вещественном в переводит точки О и thfi(zi,Z2) в точки соответственно z и z2. Применяя неравенство (2.2.2) к функциям f(((z)), l(z) = k(z) = 2(1 + 2)~2, f(z) G ОТ и точкам 0, tli d(z1: z2), f{zk) ф oo, к = 1,2, получим
l/(-i) - /(22)1 ^ J sli{2d(zi,z2))y/f'(z1)f'(z2)(l - zi |2)(1 - |z2|2),
Данное неравенство эквивалентно упоминавшемуся ранее неравенству Фана [38] (см. также [40, 41, 44]).
Рассмотрим неравенство (2.2.3). Пусть G — U, / £ ОТ и z, z2- произвольные различные точки круга U, отличные от полюса функции f(z). Обозначим через ( = ((z) - дробно-линейное отображении круга U па себя, переводящее симметричные ТОЧКИ ±гс, С > 0, В ТОЧКИ 21 и z2. Очевидно 2с/(1 + с2) = thd(zi,z2). Записывая неравенство (2.2.3) для функций /(((-)) и l(z) = k(z) после несложных преобразований получим
|/(2i) - /(г2)| ^ thd(zuz2)y/f (z1)f'(z2){l - Ы2)(1 - |z2|2).
Последнее неравенство вытекает также из известной теоремы Лаврентьева о неналегающих областях, хотя в литературе, по-видимому не встречалось.