Принцип Хикса в теории линейных и нелинейных интегральных уравнений и краевых задач

• Автор: Гулынина, Елена Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Ставрополь
• Количество страниц: 112 с.

Глава I. Некоторые расширения принципа Хикса и принципа Ле-Шателье-Самуэльсона

§ 1. Неразложимые операторы. Модель Леонтьева

§ 2. Принцип Хикса и его прямые расширения

§ 3. Новые оценки сверху спектрального радиуса матричных и интегральных

операторов
§ 4. Принцип Ле - Шателье - Самуэльсона для линейных и нелинейных интегральных уравнений

> Глава II. Экстремальные расширения принципа

Хикса

§ 1. Экстремальные возмущения

§ 2. Регулярная струна

§ 3. Принцип Хикса для регулярной струны

Глава III. Общая стильтьесовская струна
§ 1. Дифференциалы Стильтьеса
§ 2. Уравнение общей струны
§ 3. Линейная теория общей струны
§ 4. Принцип Хикса для общей струны
Библиография

Теория уравнений в пространстве с конусом оказывается уместной практически во всех разделах математической физики, где приходится опираться на те или иные свойства функции влияния или порождаемого ею интегрального оператора. Функция влияния, известная физикам со времен Кулона, оказывается обычно положительной, что предопределяет положительность соответствующего интегрального оператора. Однако в чистую математику операторы, положительные на конусе банахова пространства, вошли совсем с другой стороны. Знаменитая теорема Перрона о ведущем собственном значении положительной матрицы, для математиков достаточно неожиданная, явилась завершением разнообразных попыток экономистов мотивировать хорошо понятное для них свойство существования равновесных цен в замкнутой рыночной модели. Теорема Перрона начала процесс разработки теории положительных интегральных операторов (Енч, Фробениус и пр.), завершившийся созданием теории осцилляционных матриц и ядер (Гантмахер-Крейн), связанный с упругими колебаниями механических систем. В рамках этой теории и ее последующего развития удалость создать развитую систему результатов для общей осцилляционной теории спектральной задачи Штурма-Лиувилля.
Из математической экономики, где царят положительные матрицы, аналогичным образом в абстрактную теорию вошли (Гантмахер, Стеценко и др.) неразложимые операторы, в практической математике порождаемые агрегированием по Леонтьеву межотраслевых моделей баланса. В середине XX века в рамках моделей Леонтьева обнаружилось еще одно любопытное свойство положительных матриц, связываемое с именами Хикса, Саймона и др. западных экономистов. Заключается это свойство в следующем.
Если А - неразложимая неотрицательная матрица со спектральным радиусом р(А)< 1, то ее резольвентный оператор (/-Л)-1 есть матрица сильно положительная, и потому для системы вида
х = Ах + /, (0.0.1)
типичной для моделей Леонтьева, увеличение/(спроса) хотя бы всего лишь по одной компоненте приводит к строгому возрастанию всех компонент решения (требует увеличения плана по всем без исключения параметрам). Оказывается - а в этом и заключается феномен Хикса - это увеличение решения -обозначим его через Ау в соответствии с приращением А/- имеет экстремальное относительное значение именно по той компоненте, которая определила прирост А/. Точнее говоря, если А/ имеет все нулевые координаты, кроме одной (АД ), то именно по этой /0 -й координате наиболее
велико приращение Ах относительно х = (I - А)~' f, т.е. относительно прежнего решения системы (0.0.1). Совсем точно говоря,
5ир(^ = (Лх)/о-. (0.0.2)
/ х, х,о
Это удивительное (и важное в экономической практике) свойство уже имеет достаточно широкую литературу (см., напр. [46, 48]). В настоящей работе это свойство распространяется на некоторые задачи современной математической физики. Естественно, нам не удается миновать интегральных уравнений, где приходится сталкиваться с достаточно серьезными трудностями. А именно - с локализацией входного возмущения, ибо наиболее содержательное свойство феномена Хикса - тотальная реакция системы на локальное (всего лишь по одной координате) изменение возмущения системы (спроса). В естественных функциональных пространствах подобное возмущение обычно связано с появлением в параметрах сингулярных дельтаобразных компонент и переходу к анализу обобщенных решений, что и порождает главные трудности применения стандартной техники. Поэтому мы в начале устанавливаем аналог принципа Хикса для случая, когда в интегральном уравнении - аналоге (0.0.1)
х(о- рад*(*)ж=яо (о.о.з)
Условие положительной обратимости оператора (/-А) достаточно ясны. Условия неразложимости А, даже если А является интегральным оператором, изучены (Стеценко, Шеффер и др.).
А вот как обеспечить для уравнения (2.1.1) в С[ай] участие правых
частей, аналогичных векторам (2.1.2) в Яп1 Что это за векторы (2.1.2)? Какие у них главные свойства вй"?
Свойства эти определяются тем, что векторы (2.1.2) являются экстремальными, т.е. крайними векторами для конуса неотрицательных векторов в К". Иначе и быть не может. Ведь эти векторы — базисные в Я".
Можно ли говорить о базисе неотрицательных элементов в С[а ?
Очевидно, нет! А можно ли говорить об экстремальных лучах в конусе неотрицательных функций? В прямом смысле - нет. В расширенном - да. С интуитивно-физической точки зрения таковыми являются дельта-функции. Однако напрямую появление дельта-функций справа в (2.1.2) непременно влечет появление аналогичных особенностей и у решений. Если, конечно, оператор А непрерывен.
Источником непрерывных объектов, допускающих сингулярные (сосредоточенные) возмущения, могут служить классические физические модели. Для последних феномен Хикса пока не изучался. Мы рассматриваем ниже стильтьесовскую струну в постановке Аткинсона [3] — М.Г. Крейна [29].