Экстремальные задачи на классах гармонических отображений

• Автор: Эйланголи, Окандзе Руфин
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Тверь
• Количество страниц: 100 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ В ЛИНЕЙНО- И АФФИННОИНВАРИАНТНЫХ СЕМЕЙСТВАХ ГАРМОНИЧЕСКИХ ОТОБРАЖЕНИЙ
§1. Предварительные сведения
§2. Оценки модуля производной Шварца для гармонических отображений
§3. Оценка радиуса звездности однолистных гармонических отображений
§4. Оценки кривизны образа окружности при гармонических отображениях
§5. Аналог уравнения Лёвнера для подчиненных гармонических отображений
ГЛАВА 2. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ В СЕМЕЙСТВАХ ЛОКАЛЬНОКВАЗИКОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
§6. Общие свойства квазиконформных и локально-квазиконформных отображений
§7. Оценка, искажения модуля двусвязных областей
§8. Оценка искажения приведенного модуля
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ
Актуальность проблемы. Историческая справка. Объектом исследования в настоящей диссертационной работе являются экстремальные свойства гармонических и локально-квазиконформных отображений в плоскости комплексного переменного.
Основы теории гармонических отображений были заложены в начале XX века в работах Т. Радо [68], X. Кнезера [57] (1926 г.) и Г. Шоке [40] (1945 г.). Повышение интереса к классам однолистных гармонических функций произошло после известной работы Дж. Клуни и Т. Шейл-Смолла [43] (1984 г.), и обусловлено, во-первых, родством задач теории гармонических отображений с классической проблематикой конформных отображений, а, во-вторых, существенными отличиями и своеобразием свойств гармонических функций и используемых для их анализа методов. Отдельным фактором, стимулирующим развитие теории гармонических отображений, следует считать успешное доказательство Л. де Бранжем [38] в 1984 г. известной гипотезы Л. Бибер-баха об оценке коэффициентов нормированных однолистных конформных отображений. В дальнейшем проблематике однолистных гармонических отображений был посвящен ряд работ Т. Шсйл-Смолла, [72], Дж. Бшути [39], У. Хенгартнера [53], П. Дюрена [45], Ю. Йоста [54, 55], Э. Шауброк [71], М. Дорфа, а также российских математиков, таких как В.В. Старков [73, 74], В.Г. Шеретов [33], Д.В. Прохоров, С.Ю. Граф [10 - 14]. Следует от-

метить, что ряд классических проблем теории гармонических отображений (таких как оценка коэффициентов, теорема существования и единственности гармонического отображения с заданной дилатацией) на сегодняшний день остаются нерешенными.
В настоящее время гармонические отображения превратились в важный инструмент для решения широкого спектра задач как комплексного, так и действительного анализа, геометрии, комплексно-аналитической и теоретической физики. Теория гармонических отображений также применяется в задачах динамики жидких кристаллов и теории минимальных поверхностей. По сей день развитие теории гармонических отображений активно продолжается, о чем свидетельствуют новые интересные результаты и задачи, возникающие в этой области [45].
В настоящей диссертационной работе сделана попытка обобщить некоторые классические результаты геометрической теории функций на классы однолистных и локально-однолистных гармонических и локально-квазиконформных отображений. При этом многие результаты представляют собой продолжение исследований С.Ю. Графа [11, 14] в теории линейно- и аффинно-инвариантных семейств гармонических отображений.
Цель работы:
(а) развитие теории линейно- и аффинно-инвариантных семейств локально-однолистных гармонических отображений единичного круга, включающее в себя получение оценок радиусов кругов однолистности, звездообраз-ности гармонических отображений, доказательство оценок кривизны образов окружностей при гармонических отображениях;
(б) развитие и адаптация методов модулей и экстремальных длин к классам локально-квазиконформных и гармонических отображений.

Например, линейная инвариантность класса S нормированных конформных отображений единичного круга и известная оценка функционала |ф—d|| в классе S позволили Ц. Нехари доказать точную оценку
|{F,4|< ?
(1-N2)
для любой функции / G 3 (см., например, [46, 65]).
Изложенные выше рассуждения применимы также и к линейно-инвариантному семейству TL голоморфных частей гармонических отображений / G С.
Теорема 2.1. Пусть / — h + д G С. Тогда для любого z, z < 1,
2а2 + 3 УЗ(а-А) (i-N2)
Оценка точна е смысле порядка, роста.
КМ}| < „ , ,„,
Доказательство. Для доказательства теоремы 2.1 достаточно использовать неравенство (2.4) в сочетании с оценкой
|ф — Лф| <

2 , (
Ci Л—— о.
2 у За
доказанной И.Р. Каюмовым и В.В. Старковым в работе [56] для коэффициентов произвольной голоморфной функции, принадлежащей универсальному линейно-инвариантному семейству Ыа порядка а и для любого А 6 М. Заметим, что последняя оценка представляет собой уточнение известного результата К. Поммеренке [66].
Точность порядка роста производной Шварца в доказанной оценке проверяется непосредственной проверкой для гармонического аналога функции Кёбе К (г) в классе Сн почти выпуклых гармонических функций.
Использование уточненного порядка ао позволяет в некоторых случаях усилить результат теоремы 2.1.