Меры на пространствах функций и начально-краевые задачи

• Автор: Тарасенко, Павел Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 70 с.

Оглавление
Введение

1 Предел мер, порождаемых броуновским движением со сносом к поверхности

1.1 Предварительные сведения

1.2 Броуновское движение со сносом к поверхности

1.3 Броуновское движение на многообразии

1.4 Приближение траектории к поверхности под действием сноса

1.5 Производная проекции на многообразие

1.6 Разложение Ферми непрерывных семимартингалов

1.7 Сходимость броуновских движений со сносом к броуновскому движению на поверхности
1.8 Представление решения задачи Коши на поверхности пределом решений задач Коши в
2 Предел мер, порождаемых броуновским движением со сносом к области
2.1 Диффузия с отражением на границе области
2.2 Сходимость броуновских движений со сносом к броуноввеко-
му движению с отражением

2.3 Представление решения краевой задачи с граничным условием Неймана с помощью функциональных интегралов
2.4 Представление решения задачи Коши-Неймана в области пределом решений задач Коши в
3 Предел мер, порождаемых уравнением теплопроводности с магнитным полем
3.1 Уравнение теплопроводности с магнитным полем и
формула Фейнмана-Каца-Ито
3.2 Абсолютная непрерывность распределения стохастического интеграла относительно меры Лебега
3.3 Представление решения задачи Коши-Дирихле с помощью функциональных интегралов
3.4 Представление решения задачи Коши-Дирихле в области пределом решений задач Коши в
3.5 Представление решения задачи Коши с начальным условием
в области пределом решений задач Коши в
3.6 Мера V
3.7 Связь с поверхностными мерами Смолянова-Вайцзеккера
Список литературы

Введение
Применение методов функционального анализа и теории вероятностей при изучении дифференциальных уравнений зачастую основано на представлении решений этих уравнений как среднего значения некоторого функционала на траекториях подходящего диффузионного процесса. Среднее значение функционала на траекториях случайного процесса может быть записано как интеграл соответствующего функционала на пространстве функций относительно меры в этом пространстве индуцированной данным процессом. Поэтому такие представления решений называются представления в виде функциональных интегралов.
При этом с каждым дифференциальным уравнением в частных производных эллиптического типа С можно связать семейство вероятностных мер в пространстве непрерывных функций на полупрямой. Это семейство мер определяет марковский процесс, соответствующий оператору С. Если известны некоторые свойства оператора С, то можно сделать определенные выводы о марковском процессе. И наоборот, изучая марковский процесс, можно получить информацию относительно дифференциального оператора.
Рассмотрим способы задания мер на функциональных пространствах.
Пусть дано измеримое пространство то есть множество X с
сг-алгеброй его подмножеств ЗВ. Меру на этом пространстве можно задать несколькими способами. Самый простой способ — это определить ее с по-

2.1. Диффузия с отражением на границе области
Пусть О - ограниченная область (открытое связное множество) в Л*4 с гладкой границей дБ. Введем понятие диффузионного процесса отраженного на границе области. Начнем с определения траектории отраженной на границе.
Для непрерывной функции ф с ограниченной вариацией и значениями в обозначим через фь полную вариацию ф на [ОД], то есть
где супремум берется по всем разбиениям 0 = £о < Д < < Ьп = Ь. Положим | ф1 = фь — | Пусть на интервале [0, оо) задана непрерывная функция ш со значениями в К*4 и ш(0) € 5. Рассмотрим уравнение
в котором неизвестными является пара функций (£,), удовлетворяющая (помимо (2.1)) следующим двум условиям:
1. функция £(£) непрерывна и принимает значения в Й,
2. функция ф{1) непрерывна, принимает значения в Мй, имеет ограниченную вариацию на любом конечном интервале, (ДО) = 0 и

|фг = эир Ф(гк) - ф{ьк~01
£(г) = и>{г) + фЦ), t> о,
(2.1)