Функциональные интегралы и уравнения типа Бюргерса

• Автор: Мацкевич, Степан Евгеньевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 71 с.

Оглавление
Введение

1 Представление решений уравнения Бюргерса в Ж"

1.1 Задачи Коши для уравнений Бюргерса и теплопроводности

1.2 Представление решений задачи Коши для уравнения Бюргерса с помощью формул Фейнмана и Фейнмана-Каца
2 Уравнение Бюргерса и уравнение теплопроводности относительно мер на бесконечномерном пространстве

2.1 Меры в оснащенных гильбертовых пространствах и формулы дифференцирования

2.2 Бесконечномерный аналог преобразования Хопфа-Коула

2.3 Пример использования бесконечномерного аналога преобразования Хопфа-Коула

2.4 Представление решения задачи Коши для уравнения теплопроводности относительно мер с помощью функциональных интегралов
3 Уравнения Бюргерса на многообразии
3.1 Определения уравнений Бюргерса на многообразии
3.2 Аналог преобразования Хопфа-Коула на многообразии

3.3 Стохастические уравнение Бюргерса с внешними силами и уравнение Колмогорова-Петровского-Пискунова
3.4 Примеры многообразий, где имеет место аналог преобразования Хопфа-Коула
Заключение
Список литературы
Список работ автора по теме диссертации

Введение
Целью работы является применение методов бесконечномерного анализа, прежде всего функционального интегрирования, для исследования уравнений типа Бюргерса в различных пространствах.
В диссертации получены формула Фейнмана и формула Фейнмана-Каца для уравнения Бюргерса с внешней силой в конечномерном пространстве. Описана связь решений задач Коши для уравнения Бюргерса в бесконечномерном пространстве (оснащенном гильбертовом пространстве) и уравнения теплопроводности относительно мер в том же пространстве. В работе также получена формула Фейнмана-Каца для уравнения теплопроводности с потенциалом относительно мер на оснащенном гильбертовом пространстве. Кроме этого, в диссертации описано уравнение Бюргерса на римановом многообразии и показано, что аналог преобразования Хопфа-Коула на некотором классе многообразий связывает решения задач Коши для уравнения Бюргерса и уравнения Колмогорова-Петровского-Пискунова. Подобные результаты получены также для стохастических версий введенных уравнения Бюргерса с внешней силой и уравнения Колмогорова-Петровского-Пискунова на многообразиях.
Уравнением Бюргерса называется уравнение
| + (/,У/) = 1д/
относительно функции / : К х X —» X, где X — (сепарабельное) гильбертово пространство размерности п € 1, 2,3,..., оо. Предполагается, что
иУ/) = ±/‘§. иД/ = Е0.
г=1 1=

Вычтем левую и правую часть последнего уравнения из (2.2), помноженного на логарифмическую производную ц по направлению к:
Докажем следующие соотношения:
д(1 д
^ Ац = ^Аг;Л - (Уил, ^ щ (2.5)
(~Ул + (и-ц) = Ун-Ц- (2.6)
Докажем соотношение (2.4). Воспользуемся предложением 2.4:
дьн д ( Д/Л 3/х Лх^З/х
Л = ^7 ЗТТ Л = ^/гдт +
дЪ дЬ (1/1) дЬ дЬ
Здесь мы еще воспользовались тем, что
Докажем соотношение (2.5). Пусть {еД — ортонормированный базис в Ф. Из предложения 2.3 вытекает: