Некоторые вопросы проблемы моментов

• Автор: Кувшинов, Максим Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 93 с.

Оглавление
Введение

1 П-экстремальные решения проблемы моментов Гамбургера .

1.1 Постановка задачи

1.2 Случай дискретных решений

1.3 Необходимое условие Г-экстремальности решения

1.4 Достаточные условия Р-экстремачьности решения

1.5 Абсолютно непрерывные V-экстремальные решения

2 Комплексная проблема моментов

2.1 Постановка задачи

2.2 Пример позитивной, но не являющейся моментной, комплексной последовательности
2.3 Вспомогательные результаты
2.4 Достаточное условие разрешимости
2.5 Разрешимость ’’усеченной” комплексной проблемы моментов
Список основных обозначении
Список литературы

Введение
Работа состоит из введения, двух глав, списка основных обозначений и списка литературы из 38 наименований.
Дадим краткий обзор результатов, непосредственно связанных с тематикой данной работы.
В главе 1 рассматривается одномерная степенная проблема моментов.
Определение 1 Неубывающая функция сг(и), —оо < и < оо, называется решением, проблемы моментов Гамбургера, порождаемой последовательностью чисел {.ьдД'^о ? если

в* = J икдо(и), к = 0,1,2,... . (1)
Определение 2 Неубывающая функция а (и), 0 < и < оо, называется решением, проблемы м,ом,ент,ов Сггтлтъеса, порождаемой последовательностью 'чисел , если

Як = I ^ = ^'' ’

Проблема моментов называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если решение не единственно (два решения проблемы моментов не считаются различными, если их разность равна константе во всех точках непрерывности).
С произвольной последовательностью чисел в пространстве всех
многочленов можно связать функционал 0, полагая
© {р(А)} = Ро«0 +Р «I +----1-РпЯп для р{А) = Ро +Р! А + -рп п .
Определение 3 Функционал 0, заданный на множестве многочленов, называется позитивным, если

|р(А)р(А)| > 0 для любого многочлена р(А) ф 0.
Функционал 0, заданный на множестве многочленов, называется ненегативным, если

|р(А)р(А) > 0 для любого многочлена р(А).
ВВЕДЕНИЕ
Отметим, что введенный функционал 0 позитивен тогда и только тогда, когда последовательность позитивна относительно оси, то есть все
квадратичные формы

^ ^ ^ 1 +к к / -к/с , ТИ — 0, 1. 2, . . . ,
;,*=о
строго позитивны.
В своей классической работе [19] Г. Гамбургер сформулировал критерий разрешимости проблемы моментов (1). Он доказал, что проблема моментов (1) разрешима тогда и только тогда, когда функционал 0, порождаемый последовательностью , ненегативен. Причем условием не-
обходимым и достаточным для того, чтобы существовало решение сг(и), —ос < и < оо, имеющее бесконечное число точек роста, является позитивность функционала 0 , то есть позитивность относительно оси последовательности
Описание совокупности всех решений проблемы моментов (1) в неопределенном случае было дано Р. Неванлинной.
Определение 4 Класс N (функции Неванлинны) совокупности всех аналитических в полуплоскости Зт г > 0 функций ги = }{г), отображающих полуплоскость Зт 2 > 0 в полуплоскость Зт ш > 0 .
Общий вид функции Неванлинны /(г) £ N дает (см., например, [1] с.630) интегральное представление

/и*-(„), (2)

гДе Ц > 0 , г £ К., а т(и) — неубывающая функция такая, что

/ —Н < оо.
У 1 +и

Так как представление функции Неванлинны ф(х) в виде (2) единственно, будем говорить, что неубывающая функция т(и) соответствует функции
те х.
Как показал Р. Неванлинна (см. [26]), между множеством всех решений а(и) неопределенной проблемы моментов (1) и совокупностью всех функций кр(г) класса N, пополненного константой оо, существует взаимно однозначное соответствие, определяемое формулой:
ГЛАВА 1. V-ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ

= Пт у 2/о(г у) У 2М*У) (Ы*у) ~ <Ро{{У)) В2{гу)у 10 = О .
у—>+оо
Теорема 3 доказана.
Теорема 3 позволяет указать достаточное условие ^-экстремальности решения проблемы моментов.
Введем класс функций АД С N следующим образом.
Определение 8 Будем говорить, чт.о функция Неванлинны <р(г) принадлежит классу АП . если соответствующая ей по формуле (1.2) неубывающая функция т(и) порождает определенную :проблему моментов Гамбур-
для некоторого положительного числа о;, то (см., например, [14]) т(и) является решением определенной проблемы моментов Гамбургера. Поэтому справедливо следующее замечание.
Замечание 3 Если функции <р(г) £ N coom.eem.cm.eyem по формуле (1.2) неубывающая функция г (и), удовлетворяющая неравенству (1.11) для некоторого а > 0, т.о <р(г) £ N1. В частности, всем вещественным рациональным функциям Неванлинны соответствуют по формуле (1.2) неубы-вающие функции с конечным числом точек роста, следовательно, вещественные рациональные функции Неванлинны принадлежат классу М.
Теорема 4 Если решению аДи) неопределенной проблемы моментов (1.1) соответствует по формуле (1.3) функция ро(г) £ Л’П , то решение од (и) V-экстремально.
Доказательство теоремы ф
Предположим, что (То(и) — не ^-экстремальное решение проблемы моментов (1.1), тогда, в силу теоремы 3, существует неубывающая функция (То (и) такая, что справедливо равенство (1.5). Пусть решения од (в), од(ы) определяют по формуле (1.3) функции Неванлинны <Ро(~)-, фо{2) соответственно. В силу теоремы 3 и леммы 4, <ро(г) То(г)) То(2) Ф ^о(^) ■
Функции <ро(г), <ро(г) принадлежат классу функций Неванлинны, поэтому представимы в виде (1.2):
гера.
Если неубывающая функция т(и) такова, что

(1.11)