Функции соболевского типа на метрических пространствах

• Автор: Романов, Александр Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 135 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ

I. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА М£{Х, ф ц)

§1.1. Основные определения и некоторые свойства функций классов М* (X, ф ц.).

§1.2. Теоремы вложения разных метрик.

§ 1.3. Теоремы вложения "разных мер".

§ 1.4. О компактности оператора вложения.

§1.5. Условия компактности оператора следа.

II. КЛАССЫ ФУНКЦИЙ ИДДХ, ф ц)

§ 2.1. Основные определения и некоторые свойства функций классов Уа>р{Х, ф ц).

§ 2.2. Вложение пространств НДЦАТ, ф ц) в пространства Лебега.

§ 2.3. Описание пространств IУа>р(Х, ф у) в случае, когда мера удовлетворяет условию удвоения.
§ 2.4. Взаимосвязь пространств с различной "гладкостью".
§ 2.5. О следах функций класса ¥а,р.
III. О КЛАССАХ СОБОЛЕВА В ЕВКЛИДОВЫХ ОБЛАСТЯХ С ГЕЛЬДЕРОВЫМИ ОСОБЕННОСТЯМИ
§3.1. Взаимосвязь пространств Соболева И’’.} и пространств Мр в "нулевых" пиках при больших показателях суммируемости.
§ 3.2. О компактности вложения следов соболевских функций на границе пика.
§ 3.3. Взаимосвязь пространств Соболева И1 и пространств Мр в "нулевых" пиках при малых показателях суммируемости.
§ 3.4. О компактности операторов вложения и следа.
IV. О НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНКЦИЙ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА НА МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ
§ 4.1. Пространства Лоренца.
§ 4.2. Непрерывность функций, удовлетворяющих неравенству Пуанкаре.
§ 4.3. Абсолютная непрерывность функций, удовлетворяющих неравенству Пуанкаре.

V. О НЕЛИНЕЙНОЙ ЕМКОСТИ, СВЯЗАННОЙ С ПРОСТРАНСТВАМИ СОБОЛЕВА
§ 5.1. Сингулярные меры и (1, р)— емкость в весовых классах
Соболева
§ 5.2. О продолжении Соболевских функций
§ 5.3. Емкостные соотношения в плоском четырехстороннике
§ 5.4. Сопряженные экстремальные функции и экстремальные
отображения
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
Изучение функциональных классов, в той или иной мере являющихся обобщением классических пространств Соболева, уже в течение многих лет является актуальной задачей, имеющей многочисленные приложения в разных областях математики - анализе, геометрии, теории дифференциальных уравнений, вариационном исчислении ... В настоящее время теория функциональных классов Соболевского типа активно развивается в различных направлениях.
К уже традиционным направлениям, как правило, имеющим практические приложения, можно отнести введение и изучение в областях евклидова пространства новых классов вещественнозначных функций, гладкость которых понимается в некотором обобщенном смысле. Так в работе О. В. Бесова [5] введены и изучаются функции соболевского типа с "переменной гладкостью", а в книге Д. Эдмундса и В. Д. Эванса [56] рассматриваются "абстрактные пространства Соболева" функции
которых принадлежат банахову пространству Х(£1) и имеют обобщенные производные, принадлежащие банахову пространству К(Г2).
Наряду с традиционными направлениями можно отметить активно развивающиеся в последние десятилетия анализ на группах Карно и метрическую теорию функций соболевского типа.
В настоящее время на группах Карно активно изучаются различные вопросы, в которых важную роль играет принадлежность функций или отображений соответствующим классам Соболева. На группах Карно, в отличие от евклидова случая, во многих вопросах определяющую роль играет не полный дифференциал отображения, а дифференциал, вычисляемый лишь вдоль "горизонтальных" векторных полей. Групповая специфика не позволяет автоматического перенесения евклидовых результатов и требует новых подходов и методов доказательств, которые порой оказываются близки к используемым при изучении свойств функций на метрических пространствах. Подробное обсуждение вопросов теории отображений с ограниченным искажением и различных свойств Соболевских функций на группах Карно можно найти в работе С. К. Водопьянова [76], содержащей обширную библиографию.
В последнее время появилось много работ, в которых изучаются различные обобщения функциональных классов соболевского типа, связанные с метрическими пространствами.
В работах Ю. Г. Решетника [26,27,28] были введены и изучены классы

в них функция и может быть доопределена равенством

и(х) — lim —г—. гг / и dp.
<"0 МВ(х,р))
Далее при р > а следом функции и € М* (X, d, р) на множестве Е будем называть сужение на множество Е функции
определенной во всех точках х £ X и р- почти всюду совпадающей с исходной функцией и.
Теперь мы можем довольно просто получить условия, при которых оператора следа будет ограниченным.
Лемма 1.3.2. [32*,37*]. Пусть 1 < р < оо, 0 < а < min{s,p} и 0<7<1 — а/р. Тогда оператор следа
2. 1 < г < оо, если (1 — 7)р > 5.
Доказательство. Для начала отметим, что согласно теореме 14.11 работы [64], из оценки слабого типа (1.3.1) следует, что и# 6 Ьд(Е,и) при всех 1 < д < р и
ограничен при всех 1 < д < р и всех 7, удовлетворяющих условию леммы.
Теперь покажем, как для показателя суммируемости г получить оценку, указанную в формулировке леммы.
Фиксируем произвольное 7, удовлетворяющее условию леммы, выберем 71 так, что 7 < 7х < 1 — а/р, и положим /3 = 7/71.
Показатель регулярности меры и относительно метрики йъ равен 51 = -5 Поскольку (1 —/?)д < 51, то согласно оценке (1.2.3) из теоремы 1.2.2. оператор вложения
Tr : S$(X, d, р) -> Slr{E, и)
непрерывен при
1. 1 < г <
11«? I L,(E,v)II < C(q,p)\u I
Таким образом оператор следа
Tr : Sp(X, d, р) —» Sg(E, I: Sl(E, ri7l, v) —> Sl(E, d7, u)