Граничные особые точки и граничная аппроксимация функций

• Автор: Колесников, Сергей Викторович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Иваново
• Количество страниц: 136 с.

ВВЕДЕНИЕ,

В работе рассматриваются граничные свойства аналитических и гармонических функций.

Работа состоит из введения, двух глав и списка цитированной литературы. содержащего 56 названий.
Во введении приводятся необходимые определения, кратко излагается история вопроса и формулируются основные результаты диссертации. В первой главе исследуются множества особых граничных точек функций — в основном, аналитических в единичном круге В . Во второй главе рассматривается вопрос о возможности поточечного приближения полиномами функций, определенных на окружности Г , и о равномерном приближении функций, непрерывных на единичной окружности (но не продолжающихся непрерывно внутрь В до аналитической функции в В). посредством граничных значений ограниченных аналитических функций в В .

Приведем основные определения, используемые в работе.

Пусть /(~) — функция, определенная в круге В ; Д- — замкнутый радиус круга В с концом в точке £ £ Г . Радиальным пределом функция /{г) в точке £ называется предел Нтг_1_0 /(?'£) ■ Т-е- предел /{В) в С по радиусу В' . Если этот предел существует и конечен, то точка £ называется точкой радиальной непрерывности функции /(г) , в противном случае £ называется точкой радиальной неопределенности.
Говорят, что функция /(с) имеет угловой предел в точке £ £ Г , если она имеет угловой предел в £ по любому углу с вершиной в £ образованному парой хорд круга В . (Всюду в дальнейшем под углом будем понимать угол именно этого типа; очевидно, угловой предел функции / в точке £ 6 Г , если он существует, определен единственным образом.) Точки, в которых есть конечные угловые пределы, называются точками Фату.

Обозначим через E(f) множество всех точек окружности Г , в которых функция f(z) не имеет конечных угловых пределов, а через Ep{f) — множество всех точек, в которых нет конечных радиальных пределов. Множество всех точек Фату и всех точек радиальной непрерывности функции / обозначим, соответственно, через F(f) и

Пусть функция g(z) определена на некотором множестве Q комплексной плоскости и £ — предельная точка Q. Предельным множеством функции g(z) в точке £ относительно Q называется множество всех частичных пределов g(z) в точке £ при стремлении z к £ по Q . Будем его обозначать Cq (/, £).
Точка £ £ Г называется GV'-особой точкой функции f(z) . z £ D, если хотя бы по одному углу V с вершиной £ , образованному хордами круга D, предельное множество функции / в этой точке отличается от предельного множества относительно всего круга D : Су(/, £) ф Coif,О - Точка £ называется VV-особой точкой функции, если существуют два угла V) и IT с общей вершиной £, по которым предельные множества различны: Су, (/, £) ф Су2 (/, £).
Множество всех GV-особых и ПП-особых точек функции / будем обозначать, соответственно, Ecv(f) и Evv(f) ■
Точка £ £ Г называется точкой Плеснера функции f(z) (z Е D), если предельное множество по любому углу V с вершиной в £ совпадает с расширенной комплексной плоскостью: Су(/, £) = С. Множество всех точек Плеснера функции / обозначим через 1(f).
Пусть Н°° — пространство функций, ограниченных и аналитических вВс нормой II/H = sup f(z) < оо, и пусть Т°°(Г) — простран-

ство функций, определенных и конечных почти всюду на Т , с нормой ll/lloo = sup vraizer|/(T)| < оо .
Пространство всех непрерывных функций на Г с обычной супремум-нормой и его подпространство, состоящее из непрерывных функций,

допускающих непрерывное и аналитическое продолжение с окружности Г внутрь круга D , будем обозначать, соответственно, С(Г) и Сд(Г').
По теореме Фату каждая функция / G Н°° имеет почти в каждой точке ( £ Г конечный угловой предел /(£). Обозначим через Н°°(Т) подпространство пространства Z°°(r), состоящее из всех граничных функций /(С) для функций / G Н°° .
Пусть / G Е°°(Т) . Функция g(z) = g(f, z) G H°°(T) называется функцией наилучшего приближения для функции f(z) в классе Н°°(Т) , если для любой функции q(z) G Н°°(Т) будет
||/ “ S'lloo < II/-9II00 ■
В первой главе исследуются множества E( f), Ep(f), Eyy(f), 1( f) для различных классов функций f(z) , определенных в круге D, а также аналогичные множества для функций /, определенных в п-мерном единичном шаре Вп С Rn (п > 2).
Случай функций, непрерывных в D , был рассмотрен Хаусдорфом: фактически он показал, что множества Ep(f) и E(f) имеют тип Gsa [35].
Обратно, Е.П.Долженко [26, Добавление переводчика] было показано, что для любого множества Е С Г типа Gsa можно построить непрерывную ограниченную в D функцию f(z) , не имеющую радиальных (а значит, и угловых) пределов на множестве Е и имеющую угловые (а значит, и радиальные) пределы в каждой точке множества ГЕ . Следовательно, для непрерывных в D функций, как класс всех множеств Ep(f), так и класс всех множеств E(f) совпадает с классом всех множеств типа Gf,a на окружности Г .
В 1906 г. П.Фату [44] было доказано, что для ограниченных гармонических и ограниченных аналитических функций f(z) угловые пределы существуют почти в каждой точке £ G Г , и, следовательно, линейная мера Лебега множеств Ep(f) и E(f) равна нулю:

Для каждого £ € <3 построим открытое на окружности Г множество 03, Е С 03 С С, так, чтобы для них выполнялись следующие свойства:
а) для любых t и з из множества Q , t > в , выполняется
и в точках г, лежащих на радиусах ДД , £0 6 Г Osn , имеет место неравенство
Множества Оs будем строить по индукции.
Сначала построим множества Os для чисел s из Qо = {0,1} . Поскольку mes Е — 0, то множества Е и G удовлетворяют условиям леммы 1.3. Поэтому существует такое открытое на Г множество 0, Е С 0 С G, что mesOi < г, интеграл Шварца ip(z) имеет конечные радиальные пределы в точках множества Г G, и на радиусах Rç0 , оканчивающихся в точках множества Г G, имеет место неравенство
Ot D Os
(1.2.2)
и интеграл Шварца
имеет конечные радиальные пределы на множестве Г О*;
б) если в', 8, з" £ С}и такие, что
’2т От 4- 1 От -)-

mes(Os Os')< —
(1.2.3)
(1.2.5)