Исследование модулей семейств кривых в пространстве и на римановых многообразиях

• Автор: Навоян, Вараздат Хажакович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Киев
• Количество страниц: 95 c. : ил

ГЛАВА I. Модули семейств кривых на римановых многообразиях

§ 1.1. Постановка задачи

§ 1.2. Модули семейств нестягиваемых петель в

некоторых неориентируемнх многообразиях

§ 1.3. Модули семейств нестягиваемых петель в

проективном пространстве и на листе Мёбиуса

§ 1.4. Модули семейств нестягиваемых петель в ориентируемом "скрученном" круговом полнотории
§ 1.5. О модулях семейств нестягиваемых петель в некоторых других ориентируемых "скрученных" полно-ториях

Глава II. Модули пространственных семейств кривых

и поверхностей

§ 2.1. Модули и конформная емкость

§ 2.2. Непрерывность конформной емкости конденсатора
§ 2.3. Модули семейств кривых и поверхностей в
некоторых областях специального вида
Литература

ВВЕДШИЕ
Во многих вопросах геометрической теории функций ваянуго роль играет метод модулей - метод экстремальной метрики. Модули семейств кривых или поверхностей широко используются в теории однолистных и многолистных функций, в теории римановых поверхностей, в теории конформных и квазиконформных отображений.
В частности, ввиду бедности класса конформных отображений в пространстве, метод модулей является одним из основных при изучении пространственных квазиконформных отображений.
Отметим также, что в последние годы важное применение нашла связь между различными емкостями и модулями семейств кривых (см., напр., [9 , 24 , 26 , 47 , 48 , 22 , 39 ] ). Модульная техника применяется и в недавно созданной теории конформно-инвариантных бикомпактных расширений области [ 20 ]
Понятия экстремальной длины и модуля семейства кривых введены Л.Альфорсом и А.Берлингом. Первые работы по развитию метода модулей в нашей стране выполнены Б.В.Шабатом и П.М.Тамразо-вым. Существенный вклад в теорию модулей внесли также В.А.Зорич, И.П.Митюк, В.М.Миклюков, Г.Д.Суворов, А.В.Сычев и др.
Из зарубежных математиков отметим Х.Грётша, Б.Фюгледе,
Дж.Дженкинса, Ф.Геринга.
Нахождение экстремальных метрик и модулей семейств кривых даже на плоскости нередко связано с трудностями. Эти трудности особенно возрастают, когда кривые лежат в пространстве или на римановых многообразиях. Для отыскания экстремальной метрики не существует универсального метода.В общем случае вариационные

уравнения Эйлера-Лагранжа приводят к системам нелинейных интегральных и дифференциальных уравнений. Поэтому до сих пор известно очень мало пространственных задач, для которых модули найдены.
Диссертация посвящена изучению модулей семейств кривых и поверхностей в пространстве и на римановых многообразиях. Она состоит из введения, двух глав, списка цитированной литературы из 52 наименований.
В каждом параграфе диссертации принята автономная нумерация теорем, следствий и лемм.
Приведем краткое изложение основных результатов диссертант.
При получении основных результатов использовались методы геометрической теории функций, вариационные методы, теория гамильтоновых (канонических) систем.
В первой главе изучаются модули семейств кривых в ориентируемых и неориентируемых римановых многообразиях.
В § 1.1 приводится общая постановка задачи.
Пусть ШС - ^-мерное риманово многообразие (ориентируемое или неориентируемое), а Г - некоторое семейство не-стягиваемых петель, лежащих в 7ТС
Ставится задача: для конкретных многообразий Щ. найти
экстремальную метрику и модуль семейства Г
По сравнению с задачами классического вариационного исчисления проблема модуля для "скрученного11 многообразия существенно сложнее, ибо в ней метрика (поле) не фиксирована и основные трудности связаны с поиском неизвестной экстремальной метрики, причем для решения проблемы необходимо знать явное выражение экстремальной метрики.

экстремальна для проблемы (3,?) -модуля семейства
Теорема I доказывается теми же’методами, что и теорема I из § 1.2, хотя технически сложнее.
При р = 3 получаем следующее следствие.
Следствие I. Конформный модуль семейства Ф^ выражается формулой
Перейдем теперь к вычислению модуля семейства Ф Справедлива следующая теорема.
Теорема 2. Метрика
экстремальна для проблемы (3, р) -модуля семейства ф и

(ігк)г-р-^гьк2г),
р ф 2,.
Нр-г)