Регулярность роста систем целых функций и ее применения

• Автор: Ганцев, Сергей Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 87 с.

1 Регулярность роста систем целых функций

1.1 Вводные сведения

1.2 Теорема об оценках снизу многочленов

1.3 Изучение регулярности роста систем целых функций

1.4 Изучение слабой регулярности роста систем целых функций

2 Разрешимость систем неоднородных уравнений свертки в выпуклых областях в

2.1 Предварительные сведения

2.2 Построение конечного покрытия комплексной плоскости

2.3 Разрешимость систем неоднородных уравнений свертки в выпуклых областях в С

3 О порождающих в идеалах целых функций конечного порядка и типа в плоскости

3.1 Достаточные условия представления

3.2 Необходимые условия представления
3.3 Применение задачи о порождающих в идеалах целых функций конечного порядка и типа
ЛИТЕРАТУРА

Диссертация посвящена изучению поведения систем целых функций на основе поведения их необщих нулей. В качестве базовых понятий выступают регулярность и слабая регулярность роста систем целых функций введенных в работе [16]. В диссертации приведены определения, эквивалентные указанным выше, основанные уже не на оценках максимума модулей функций на некоторых ограниченных множествах, а на оценках в необщих нулях системы. В качестве применения регулярности и слабой регулярности роста систем целых функций рассматриваются две задачи. Это задача о разрешимости систем неоднородных уравнений свертки с новыми, введенными в диссертации условиями и задача о порождающих в идеалах целых функций конечного порядка и типа в плоскости с общими нулями.
Частным случаем регулярности систем целых функций является обычная регулярность роста одной функции. Данное понятие достаточно часто используется в работах по теории функций одного комплексного переменного. Это объясняется, в частности, тем, что регулярность роста характеристической функции является необходимым и достаточным условием разрешимости одного сверточного уравнения в гладкой выпуклой области. Для изучения систем уравнений свертки американской школой математиков (Л. Эренпрайс, К.А. Беренстейн, Б.А. Тейлор) было введено и усиленно разрабатывается в настоящее время многими зарубежными учеными понятие медленного убывания системы целых функций. Однако, в общем случае это понятие является достаточно сложным и громоздким. Кроме того, оно малоэффективно при исследовании систем неоднород-

ных уравнений свертки и дает некоторые результаты лишь при изучении пространств решений систем однородных уравнений свертки. Случай с неоднородной системой уравнений свертки намного сложнее. Это объясняется тем, что необходимо ввести характеристику роста таким образом, чтобы в каждой точке некоторого угла хотя бы одна из характеристических функций имела "хорошие"оценки. Подобную характеристику можно встретить, например, в работе В.В. Напалкова [27], для п - мерного комплексного пространства, когда у характеристических функций нет общих нулей. Но общем случае, у характеристических функций могут быть общие нули. В работе A.C. Кривошеева [16] были введены характеристики взаимного поведения системы целых функций с общими нулями. Причем введенная там же регулярность роста систем целых функций совпадает с обычной регулярностью роста для одной функции. В данной диссертации приведены аналоги этих определений, основанные не на оценках в кругах максимума модулей функций, как в работе [16], а на оценках в самих необщих нулях системы. Также решаются две задачи. Это задача о разрешимости систем неоднородных уравнений свертки с новыми, введенными в диссертации условиями. В отличие от работы [16], приведенный здесь метод доказательства не использует индуктивных построений и существенно более прост. Данный метод является комбинацией метода использованном Волффом (см. [20], дополнение) и некоторых идей из работы [16]. Вторая задача связана с порождающими в идеалах целых функций конечного порядка и типа с общими нулями. Перейдем к более подробному рассмотрению поставленных задач и анализу результатов полученных ранее.
В пунктах 1.3 и 1.4 первой главы приводятся эквивалентные определения регулярности и слабой регулярности роста систем целых функций. В качестве основы используется теорема 1 в пункте 1.2. Остановимся на ней поподробнее. Пусть у нас имеется некоторый набор многочленов Р,... ,Рп. Причем их нулевые множества в совокупности имеют пустое пересечение. Рассматривается максимум модулей этих многочленов на их

для каждого v = і/ь ... , i/„, такого, что /15ц + ... + = 0 (у?і,... ,
- те же, что и выше). Правую часть g системы (1.1) удовлетворяющую указанному условию будем называть допустимой. Очевидно, множество всех допустимых правых частей является замкнутым подпространством в Н. Сказанное означает, что ставить вопрос о разрешимости системы (2.3) имеет смысл лишь для элементов этого подпространства.
Справедлива следующая лемма.
Лемма 1. [16] Образ оператора М плотен в множестве допустимых правых частей системы (2.3).
Из этой леммы следует, что система (2.3) разрешима в H(D) при любой допустимой правой части g Є Н тогда и только тогда когда образ оператора М замкнут. Так как H(D) и H(Gi) являются полными метри-зуемыми пространствами [27], т.е. пространствами Фреше, то по теореме о сопряженной операции для таких пространств (см. [9]) замкнутость im М равносильна замкнутости образа сопряженного оператора М* или, что то же самое, замкнутости множества im Е С РрПусть /і,... , fn - преобразования Лапласа функционалов pi,... , рп и А = {A*, rrik}, где {А*,} - последовательность общих нулей /і,... , /п и т*
- кратность А*, т.е.
dm fi
■^r(Afc) = 0) 0 < т < тк, к = 1,2,... , г = 1,... , п,
и для каждого к — 1,2,... найдется номер і = 1,... , п такой, что dmk fi
(Afc) Ф 0. Нетрудно показать (см., например, [27]), что система функций
27Пехр(2А*)) 0 < т < тк,к = 1,2,... , (2.4)
принадлежит ядру оператора М. Говорят, что подпространство кегМ допускает спектральный синтез, если линейная оболочка (2.4) плотна в нем. Согласно [12], [13] достаточным условием для наличия спектрального синтеза в подпространстве кегМ является существование такой функции