Теория дифференцирования интегралов над евклидовыми пространствами базисами из интервалов

• Автор: Стоколос, А.М.
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Одесса
• Количество страниц: 101 c. : ил

Предисловие

§1. Базисы инвариантные относительно сдвига

§2. Дифференцирование в точности классов базисами не

инвариантными относительно сдвига

§3. 0 дифференцировании интегралов равноизмеримых функций

§4. Неравенства для равноизмеримых перестановок

§5. Проблема А. Зигмунда об оптимальном выборе координатных

осей

§6. Приложение к теории кратных рядов Фурье

§7. Оценки для максимальных операторов

§8. N - мерные обобщения

Литература

Предисловие
Одним из фундаментальных фактов теории функций действительного переменного является классическая теорема А.Лебега £19101 о дифференцировании интегралов, утверждающая, что для любой функции I & 1_ (1ВЛ0|Ос интегральные средние
СХОДЯТСЯ К l(x') почти всюду, если d-LOm 1 О , где 1 - N -мерный куб, содержащий точку х . Однако, если в качестве I взять N -мерные интервалы со сторонами параллельными осям координат, то /х/ могут расходиться для некоторой суммируемой функции
Вопрос о сходимости интегральных средних для заданного семейства открытых множеств, стягивающихся в точку х , привлек внимание многих математиков, чьи исследования легли в основу теории дифференцирования интегралов. Фундамент этой теории был заложен в 30-х годах нашего столетия в работах Х.Бора, С.Сакса, А.Зигмунда, Б.йессена, Й.Марцинкевича, Г.Харди, Дж.Литтлвуда, Г.Буземана, В.Феллера и других математиков. Результаты теории дифференцирования интегралов имеют важное значение для других разделов теории функций , в особенности для гармонического анализа над евклидовыми пространствами. Зтим объясняется неослабевающий интерес к теории дифференцирования интегралов, особенно возросший в последние десять лет. За это время появилось значительное число работ по этой тематике /А.Зигмунд, А.Кордоба, РЛ»еф:<ферман, Ч.Фефферман, И.Стейн, А.Нагель, С.Вейнгер, Ж.О.Стрёмберг/. Вместе с тем, в теории дифференцирования интегралов имеется ещё много важных и нерешенных проблем, что позволяет считать её далеко не завершенной областью теории функций. Даже в, случае, когда рассматриваются различные
/х
1ЭОС
/С.Сакс [IS341/.

семейства N -мерных интервалов, стягивающихся в точку ос , в настоящее время о поведении средних /х/ известно сравнительно мало. Например, если в качестве 1 брать совокупность всевозможных N -мерных интервалов со сторонами параллельными осям координат, то средние /х/ сходятся к £сх-> почти всюду для функций из класса /Б.Йессен, Й.Марцинкевич, А. Зигмунд £1935]/, причем класс L (. loaf в этом утверждении нельзя заменить на существенно более широкий /С.Сакс £1935]/. В связи с этим, возникает следующий вопрос: можно ли улучшить класс L в теореме йессена-Марцинкевича-Зигмунда, если рассматривать средние /х/ не по всем интервалам, а по некоторой, наперед заданной совокупности интервалов?
Основной целью настоящей работы является получение ответа на этот вопрос. Для простоты формулировок приведем двумерный результат. Оказывается, если заданная совокупность интервалов одинакова во всех точках, то справедлива альтернатива: либо Ll^+L можно заменить сразу на L , либо Ltotj^L нельзя заменить на любой класс LipCL] , tpCt)= бСЕн-t) , t -> оо . В то же время, для любой функции ИЦ) с указанный выше свойствами, существует совокупность интервалов, в разных точках разная, которая позволяет заменить в теореме Йессена
-Марцинкевича-Зигмунда на L^CL.) , причем класс LСL") ,в этом случае не улучшаем.
Результаты диссертации опубликованы в четырех работах автора, докладывались на семинарах МГУ "Избранные вопросы теории функций" /руководители профГ. Е.М.Никишин, профг. А.М.Олевский/, "Теория ортогональных и тригонометрических рядов" /руководители профг.
К.й.Осколков, проф■. Б.С.Кашин/ и, неоднократно, на семинаре по теории функций ОГУ /руководитель проф.;. Э.А.Стороженко/. Основные результаты диссертации также докладывались на Всесоюзной школе по теории функций, посвященной 100-летшо со дня рождения академика
Н.Н.Лузина /Кемерово, 1983/, и на Второй Саратовской зимней школе по теории функций и приближений /Саратов, 1984/.

В первом случае, учитывая /3.3/-/3.6/, получим
с ‘*’V|
lHJ=|Xn| П (Е„| ) a Ahn eviC |ЕИ| , nH.
<АпП1е„
•Хк
Отсюда, учитывая /3.2/, получим /3.8/. Во втором случае, из /3.3//-/3.6V следует, что дляд, Pj ,1НП1= 1ХМ,и, следовательно,

^ d-j V IЕ к. I ^ri ^ В 1ol't Ь В 4.J ^j бп С Aj fcj)
J J •£—
Откуда p
oo Oq rj oo
X IH„l=X X IHji y, X M ^CAjKiV
h=* j*l tt=pj.+i j=i

* T cLj ICj CfL ( olj le J ) I Efcj-I se®.
j-i
Из /3.7/ и /3.8/ следует, что
1^*, Нн1 = 1. /3.9
Построим теперь последовательность множеств {a jj4al, которые составят носитель функции . Пусть и tiw . Обозначим через Qk,v(r) квадрат, левая нижняя вершина которого совпадает с левой нижней вершиной 3J , причём
Q.*,v03c ^ 'Ejl - в первом случае,
0.^(0 с 3] , IQ.k;vC'i3l = <£hJ‘hrv^ |Eh , Pn.t Lj ^ P* - во втором.
Через обозначим гомотетичную копию йКфУШ с коэффициентом
. Пусть
цЬт)* Uj ü£v(T), 4Ct) = 1 üti C'O'&K col.
J V=1 j
Ясно, что Ч'Сх) - непрерывная функция и Q.k,v со n = Ф
при I iti (JEк-i0“^ в первом случае, и при itx* 1ЕкОг » Ри-i<к-- ,
ВО втором. Определим ПО индукции последовательность Положим Ot£ г Ql£ Ci) . Рассмотрим первый случай. Учитывая /3.1/ легко видеть, что