Спектральный синтез для дифференциального оператора бесконечного порядка с постоянными коэффициентами

• Автор: Чернышев, Андрей Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Армавир
• Количество страниц: 103 с.

Глава 1. Схема двойственности

1.1 Постановка задач. Схема двойственности

1.1.1. Оператор 7г(Л)

1.1.2. Постановка задачи спектрального синтеза

1.1.3. Постановка задачи локального описания

1.1.4. Двойственность

1.2 Спектральный синтез и индуктивное описание

1.2.1. Индуктивное описание

1.2.2. Пространство М

1.2.3. Спектральные вопросы

1.2.4. Спектральный синтез и индуктивное описание

1.3 От локального описания к проективному описанию
1.3.1. Проективное описание
1.3.2. Пространство М
1.3.3. Локальные вопросы
1.3.4. Локальное и проективное описания
1.4 Теорема двойственности
1.4.1. Принцип двойственности
1.4.2. Схема двойственности
1.4.3. Теорема двойственности
Глава 2. Локальное описание и спектральный синтез
2.1 Аппроксимационные теоремы
2.1.1. Аппроксимация субгармонических функций
2.1.2. Полиномиальная аппроксимация целых функ-

2.2 Полиномиальная аппроксимация целых функций в специальном весовом пространстве
2.2.1. Функция Л/—1 (|Л|)
2.2.2. Функция ц(|А|)
2.2.3. Пространство Тф
2.2.4. Полиномиальная аппроксимация
2.3 Главные С [я]-подмодули в Р
2.3.1. Условия на выбор функции л
2.3.2. Промежуточные оценки
2.3.3. Обильность главных С[7г]-подмодулей в Р
2.3.4. Связь с задачей спектрального синтеза
Список литературы

1, Пусть П — односвязная область в С; Н = Н(0) пространство функций, аналитических в VI, наделенное топологией равномерной сходимости на компактах; И : Н —> Н/ —> /' оператор дифференцирования. Подпространство IV С Н называется инвариантным относительно оператора В, если С IV. Корневым подпространством оператора О, отвечающим собственному значению А Є С, называется непустое подпространство {/ Є Н : (Л ~ А)71/ = 0, п Є К}.Элементы корневых подпространств принято называть корневыми элементами оператора. Говорят, что замкнутое инвариантное относительно оператора Л подпространство IV С Н допускает спектральный синтез, если замыкание линейной оболочки корневых элементов оператора Л. лежащих в IV, совпадает с ИЛ Задача спектрального синтеза для оператора Л состоит в нахождении условий, при которых замкнутое инвариантное подпространство И7 С Н допускает спектральный синтез.
Инвариантные подпространства ГК С Н оператора дифференцирования возникают естественным образом в той части комплексного анализа, которая имеет дело с задачами аппроксимации аналитических функций линейными комбинациями экспонент и которая возникла в классической теории рядов Дирихле. Задача спектрального синтеза для оператора Л в комплексной области представляет собой перенос на аналитические функции известной задачи Берлинга о гармоническом синтезе на вещественной прямой [43]. Впервые задача спектрального синтеза для оператора Л была сформулирована в 1947г. Л. Шварцем в его известной монографии о периодических в среднем функциях [51].
Центральная тема спектрального синтеза для оператора дифференцирования - задача аппроксимации для однородного свер-

на, круге |С| < 1 не превосходит единицы. По лемме Шварца для любого |С| < 1 выполняется неравенство |^(С)| < ICI- Значит, для любого г, 0 < г < г' выполняется неравенство
*(?) Следовательно,
Mv(r) _м /П Mv{r') г'/ г'
Лемма доказана. ■
Свойство 5 Пусть Л G С, q G Ж. Если q > I, то
M-qX) Доказательство. В силу условия 7г(0) = 0 имеем М~х (0)
0. Значит, при А = 0 и любом q > 1 неравенство М-1(д|А|) <
qM~1(|А|) выполнено. Пусть А ^ 0. Обозначим С наименьший
по модулю элемент, для которого |тг(С)| = |А|, С' — наименьший
по модулю элемент, для которого |л(С')| = | М(|С|) = |А|, M(|C'|)=?|A|, (2.2.1)
M-^IAI) = [CI, M~qX) = |C'|. (2.2.2)
Так как q > 1, то по свойству
ICI = М-1(|А|) < M-^IAI) - ICI.
Отсюда по лемме 2.2.1 вытекает неравенство
ICI < м(с)
ICI ' м(Kl)’
Следовательно, в силу (2.2.1) и (2.2.2) выполнено
М-д |А|) |С| МД|С'|) g|A| =
М-Н|А|) |С| “ МД|С|) |А| qЗначит, M~l(q|А|) < qM~x{|А|). Свойство доказано. ■