Аппроксимационные свойства некоторых классов векторных полей

• Автор: Дубашинский, Михаил Борисович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 123 с.

Оглавление
Введение
История вопроса
Содержание работы
1 Предварительные определения
1.1 Потоки в евклидовом пространстве
1.2 Постановки некоторых задач аппроксимации
2 Задачи почти аппроксимации
2.1 Общая задача почти аппроксимации
2.1.1 Постановка задачи
2.1.2 Локальность почти аппроксимации
2.1.3 Двойственный критерий почти аппроксимации
2.2 Равносильность некоторых задач почти аппроксимации
их точным аналогам
2.2.1 Почти аналитическая аппроксимация
2.2.2 Почти аппроксимация решениями эллиптических систем
2.2.3 Задачи гармонической и почти гармонической аппроксимации
на компактных множествах пулевого объёма
2.2.4 Задачи соленоидальной и почти соленоидальной
аппроксимации
3 Аппроксимация дифференциалами
3.1 Задача аппроксимации градиентами
в евклидовом пространстве
3.1.1 Постановка задачи
3.1.2 Применение теоремы Хана-Банаха
3.1.3 Применение теоремы С.К. Смирнова
3.1.4 О прямом подходе к задаче аппроксимации градиентами
3.2 Приближения градиентами на конечном графе
3.2.1 Наводящие соображения к постановке задачи
3.2.2 Дискретные аналоги операторов векторного анализа
3.2.3 Алгоритм перестроек
3.2.4 Полуинвариант алгоритма перестроек
3.2.5 Прямое обоснование алгоритма
3.3 Решение непрерывной задачи аппроксимации градиентами
в евклидовом пространстве

Оглавление
3.3.1 Наводящие соображения: поиск метода решения непрерывной задачи
3.3.2 Теорема существования для квазилинейного уравнения
3.3.3 Явное построение аппроксимирующего градиента
либо препятствия к аппроксимации
3.4 Аппроксимация дифференциалами на компактных подмножествах
римановых многообразий
3.4.1 Предварительные определения. Постановка задачи
3.4.2 Потоки па многообразиях. Применение теоремы Хана-Банаха
3.4.3 О поиске прямого метода аппроксимации дифференциалами
3.4.4 Определение и свойства пространства А'(П)
3.4.5 Квазилинейное уравнение на римановом
многообразии
3.4.6 Прямой метод решения задачи аппроксимации дифференциалами
3.5 Дополнение: некоторые уравнения на графе
4 Некоторые задачи аппроксимации в К3
4.1 Безвихревая аппроксимация
4.2 Примеры
4.3 Сохранение аппроксимации при диффеоморфизмах
4.4 Достаточное условие равносильности безвихревой
и почти безвихревой аппроксимаций
4.5 Плоское компактное множество в трёхмерном пространстве
4.6 Компактные подмножества гладких двумерных подмногообразий

Приложение
Литература
Введение
Пусть N = 2, 3,..,, а К С компактное множество. Через С(А') обозначим
пространство всех векторных полей, заданных и непрерывных на К, оснащённое равномерной нормой. Пусть V - некоторый класс непрерывных векторных полей, каждое из которых задано в некоторой окрестности множества К. Задачи, которым посвящена диссертация, в основном связаны со следующим вопросом:
первых, класс всех векторных полей, гармонических вблизи К, а во-вторых -класс всех векторных полей, безвихревых вблизи К. Гладкое поле / называется гармоническим, если его матрица Якоби симметрична, а её след равен нулю.
функции. При А? = 2 гармоничность поля / = (/ц/г) означает комплексную аналитичность комплекспозначной функции Д — г/2 (мы отождествляем К2 и С), а при N = 3 - что
Мы говорим, что поле / € С (К) допускает равномерную гармоническую аппроксимацию па множестве А', если для любого е > 0 найдётся поле гармоническое
жество К обладает свойством равномерной гармонической аппроксимации, если любое поле / € С(К) допускает равномерную гармоническую аппроксимацию на К.
При А? = 2 вопрос о равномерной гармонической аппроксимации равносилен классической проблеме рациональной аппроксимации: па каких компактных множествах А” С С любая непрерывная комплекснозначная функция допускает равномерную на К аппроксимацию рациональными функциями комплексной переменной? Исследования в этом направлении и, в частности, исследования равномерного приближения полиномами от комплексной переменной начались с теоремы Рунге и завершились теоремами С.Н. Мергеляна и А.Г. Витушкина, в которых были даны окончательные ответы на вопросы о таких приближениях. Методы, использованные в доказательствах этих теорем, были затем применены к различным обобщениям задачи рациональной аппроксимации, причём наибольшее внимание было уделено вопросам приближения решениями эллиптических систем дифференциальных уравнений. Система (1), однако, не относится к классу эллиптических систем, как и её аналоги при N > 3. До окончательного решения задачи равномерной гармонической аппроксимации в при N > 3 па сегодняшний день
какие векторные поля из С(К) могут быть равномерно на К приближены следами (сужениями) на К полей класса V? В роли V у нас чаще всего выступают: во-
Это равносильно тому, что / локально совпадает с градиентом гармонической

вблизи К и такое, что |/ — /£| < е на К. Будем говорить, что компактное мпо-

Глава 2. Задачи почти аппроксимации
ReT*p[F] > Л > 0, поэтому T*p[F] ф 0. Таким образом, функционал р удовлетворяет всем требуемым условиям, и при этом T*p[F} ф 0. Первое утверждение теоремы доказано. Второе утверждение следует из первого. ■
Записывая задачи равномерной почти безвихревой и почти гармонической аппроксимаций в R3, поставленные в начале этой главы, в рамках нашего формализма, мы получаем
Следствие 2.1.6 (критерии равномерной почти безвихревой и почти гармонической аппроксимаций в R3). Пусть К С I3 - компактное множество, a f -векторное поле класса С(К).
1. Поле / допускает С-аппроксимацию С-почти безвихревыми полями на множестве К в том и только в том случае, если rot Д[/] = 0 для любого векторного заряда Д £ М(К) такого, что rot Д 6 М(А') (оператор rot на зарядах понимается в обобщённом смысле, см. пункт 1.1).
2. Множество К обладает свойством С-аппроксимации С-почти безвихревыми полями в том и только в том случае, если не существует заряда Д £ М(К), рф 0, для которого rot Д Е М(К).
3. Поле / допускает С-аппроксимацию С-почти гармоническими полями на множестве К в том и только в том случае, если y[f] = 0 для любого заряда у Е М(К), имеющего виду = го tp+S/p для некоторых Д € М(К) utр Е М(К).
4. Множество К обладает свойством С-аппроксимации С-почти гармоническими полями в rnoAi и только в том случае, если не существует зарядов р £ М(К) и р Е М(К), не равных одновременно нулю, для которых rot Д + Vp Е М(К).
Доказательство. Если поле / совпадает па К с некоторым векторным полем класса Z?(R3), то первое и третье утверждения теоремы непосредственно следуют из теоремы 2.1.5: для её применения достаточно привести задачи почти гармонической и почти безвихревой аппроксимаций к нашей абстрактной форме. Нетрудно видеть, что для этих задач доказательство теоремы 2.1.5 остаётся в силе и для / Е С (К). Таким образом, первое и третье утверждения доказаны.
Докажем второе утверждение. Согласно первому утверждению теоремы, множество К не обладает свойством С-аппроксимации С-почти безвихревыми полями в том и только в том случае, если существует заряд Д Е М(К), для которого rotp 6 М(К) и rot Д ф 0. Поэтому, чтобы доказать второе утверждение теоремы, нам достаточно показать, что если существует ненулевой зяряд Д £ М(К), для которого iotp = 0, то существует и такой заряд pi ЕМ (К), что rot pi £ М(К), гоЬр^фО. В самом деле, если rot Д = 0, то рассмотрим заряд рф = фр, где ф £ Г>(Ш3) - некоторая скалярная функция. Тогда rot рф = ф rot Д + 7ф х Д = S/ф х Д. Выберем гладкую функцию ф так, что S/ф = е около К, где е - некоторый фиксированный вектор. Нетрудно видеть, что можно взять вектор е так, чтобы заряд е х Д не был равен нулю. В самом деле, воспользуемся координатной записью, пусть е = (в1,е^,ез), Д = (щ, р-2, рф), тогда е х Д = (в2Рз — взъезд.] — ei/H3,eiд2 ~ е2р), и если такой заряд равен пулю для любых е, е2, е3, то pi = р2 = Мз — 0. В этом случае заряд рф — фр и есть искомый.