Слабая обобщенная локализация для кратных тригонометрических рядов Фурье непрерывных функций с некоторым модулем непрерывности

• Автор: Мацеевич, Татьяна Анатольевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 106 с.

Глава 1. СЛАБАЯ ОБОБЩЕННАЯ ЛОКАЛИЗАЦИЯ ДЛЯ КРАТНЫХ РЯДОВ

ФУРЬЕ ФУНКЦИЙ ИЗ КЛАССА Я№, ©(8) = о (©(0) (5))

§1. О представлении частичных сумм кратных рядов Фурье функций из класса Я“, ©(8) = о(©{0)(8))
§2. Достаточные условия справедливости на произвольном измеримом множестве слабой обобщенной локализации в ЯШ(Г^)
§3. Оценки мажорант частичных сумм трехмерных рядов Фурье функций из Я ш, со(5) = о (а><°>(5)), равных нулю на некотором множестве

Глава 2. СЛАБАЯ ОБОБЩЕННАЯ ЛОКАЛИЗАЦИЯ ДЛЯ КРАТНЫХ РЯДОВ

ФУРЬЕ ФУНКЦИЙ ИЗ КЛАССА Я “ , со(5) = ю(61} (6)

§1. О поведении частичных сумм двойных тригонометрических рядов Фурье непрерывных функций
§2. О поведении частичных сумм кратных рядов Фурье суммируемых по Прингсхгейму функций из класса Я ®, ю(8) = ©^ (8)
§3. О слабой обобщенной локализации для кратных рядов Фурье в классе Я03, ю(8) = ©Р (8)
ЛИТЕРАТУРА

1. Рассмотрим N-мерное евклидово пространство ÜSN, элементы которого будем
I |2 2
обозначать х = (xjХдг), и положим кх = &|Х| +... + kNxN , х =х ] + ...+х N
Рассмотрим множество ЖЛ cl№ всех векторов с целочисленными координатами и для любого определим множество ={хеШы: Xj>X,
1 < j Пусть 2л - периодическая (по каждому аргументу) функция /(х) eLp(TN), р > 1, N > 1, где TN = {х е : - л < х • < л,; = } разложена в кратный тригонометрический ряд Фурье:
ДхЬ Е С* И*. (0.1)
ke7LN
Для любого вектора я = (я],я2 nN ) е Жд рассмотрим прямоугольную частичную сумму этого ряда:
S„(i;/)= S ... (0.2)
к ,=-/7 | kN
частным случаем которой является квадратная частичная сумма St,0(x;f), когда и[ = л2 =... = «дг = «о • При этом под сходимостью ряда в (0.1) по прямоугольникам будем понимать существование предела частичных сумм Sn{x;f) - (0.2) при
я-> оо (т.е. min и —э оо), а под сходимостью ряда в (0.1) по квадратам - существовал'
вание предела 5„о(х;/) при л0 —э оо.
Пусть 11, Н с TN, - произвольное измеримое множество, рН>0 (р = р v -Димерная мера Лебега), и пусть Дх) = 0 на 11.
В диссертации изучается поведение на И и ГА частичных сумм (0.2) при
п -» да в зависимости от структуры и геометрии множества 11, а также условий,

накладываемых на функцию /(х).
2. Для одномерных рядов Фурье функций / е Ь , классический принцип локализации Римана утверждает, что ряд Фурье функции / е!,(Г '), /(х) = О на
интервале / с Т 1, сходится к нулю равномерно на каждом сегменте, целиком содержащемся в 1.
Для кратных рядов Фурье (И >2) классический принцип локализации Римана перестает быть верным не только для непрерывных функций (это было доказано Л.Тонелли в работе [1]), но и, как следует из работ Л.В.Жижиашвили [2], [3], для функций из класса
Я “ (Г*) = {/ 6 (С(Г"): £0(5,/) = 8ирм<5 |/(х)- Ду) = 0(со(5))}, (0.3)
где со(8) = 5(8) = Ц8)
г ]х|-^
х,уеТ
, а Х(8) - произвольная монотонно стремящаяся к
ч.|-/У

■ 0 при 8 + 0 (см. [4,
+ со (при 8->+ 0) функция такая, что Ц8) к^-
V 8, с.31])'1.
В работе В.А. Ильина [5] (см. также [4]) были найдены необходимые и достаточные, в терминах уже интегральных модулей непрерывности, условия классической локализации.
Обозначим через со^(5,/) интегральный модуль непрерывности

>(5,У)= эир | [... \Дх + Н)-Дх)Р(к |й|<8 I ТМ
Пусть /е2(| и пусть /(х), Оа/ е Ьр, 1 <р<да, |а| N -1, то классическая локализация справедлива (т.е. ряд Фурье функции
Л.В.Жижиашвили было доказано в [2], [3], что если со(5;/)

, го ряд Фурье
функции /(х) равномерно сходится на Т , т.е. справедлива классическая локализация.
21 Символом а здесь обозначен мультииндекс, т.е. а=(а| аДеХц, |а| *= сц+.-.+ад/,
,та = .г“’.. ..г , а символом 0“ = 0“'...0'цы , где = ~1~Д (<-мнимая единица).

Pu - [-7t ,a]x[b,b + q]x [c,c + q, ит.д.
Оценим интегралы 3*(/i), к = 1 13,15 27. Заметим, что все они разбиваются на 3 группы одинаково оцениваемых интегралов:
1) 3*(/,), где £=1,3,7,9,19,21,25,27;
2) Зк (/,), где к =2,4,6,8,10,12,16,18,20,22,24,26;
3) 3* (/,), где £ =5,11,13,15,17,23.
Оценим интегралы из каждой группы. Начнем с первой.
Предложение 1.3.1. Пусть £=1,3,7,9,19,21,25,27; тогда
Zk(fx), (1.95)
где С | (р) = const.
Доказательство предложения 1.3.1. Проведем доказательство для £=1. Для остальных £ доказательство аналогичное.

JJJ/l (u,v,t)> Q

-f 1 I
-я -я
Л|,Л2,773е2о
0П) (ц - x)D„2 (v - y)D„3 (/ - z) Jw г/v dt, }P dx dy dz <

И-I v-y /-Г
: du dvdt
dx dy dz
a b с
(сделаем замену переменных: и’= и-a, v’= v-6, /’= ?-с, х’= а-х,у‘= b-y, z’= c-z )

-du dv dt dx dy dz <

^ajbjc+n f | | ||/l(M + fl>v+ 6,/ + c)|
0 0 0 0 0
(« + x)(v + y)(7 + z)
OO OC OO 00 OC
r r ri r r rfi(u + a>v + b,t + c)
J J J] J J 77——y du dvdt dx dy dz
"'6 o olo о о (u + xyy + yW+z)
Применив в последнем неравенстве последовательно (сначала по переменной х, потом по у, а затем по г) общее интегральное неравенство с ядром Гильберта