Некоторые свойства плюригармонических и плюрисубгармонических функций

• Автор: Прудников, Виталий Яковлевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 92 c. : ил

Глава I. КОЛИЧЕСТВЕННАЯ МЕРА ПШЗРИСУБГАБЮНИЧНОСТИ ШПОРИ— СУБГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ § І.І. Лапласиан и форма Леви для плюрисубгармонических
функций

§ 1.2. О классах функций PH ,н ,сн

§ 1.3. Оператор Привалова. Критерий плюригармоничности

непрерывной функции

§ 1.4. Неравенство для одного класса плюрисубгармонических функций

§ 1.5. Количественная мера плюрисубгармоничности плюрисубгармонических функций

Глава II.ОБЪЕМНЫЙ КРИТЕРИЙ ПЛЮРИСУБГАРМОНИЧНОСТИ ФУНКЦИЙ

§ 2.6. Плюригармоничность локально суммируемой функции 50

§ 2.7. Объемный критерий плюрисубгармоничности функций 57

§ 2.8. Оценки формы Леви от гармонической функции 66

§ 2.9. О количественной мере плюрисубгармоничности плюрисубгармонических функций
Глава III.ПЛЮРИГАРМОНИЧНОСТЬ СУММЫ ПОТЕНЦИАЛОВ ДВОЙНОГО И ПРОСТОГО СЛОЕВ § ЗЛО.Плюригармоничность суммы потенциалов двойного и
простого слоев
§ 3.II.Суша потенциалов двойного и простого слоев как
оператор плюригармонического продолжения . . 82
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ Теория плюрисубгармонических функций и их приложения в нас -тоящее время находятся в стадии интенсивного развития [17] _
ГЗО] . Тесно связанные с голоморфными функциями многих комплексных переменных ( знаменитая теорема Ока об эквивалентности понятий псевдовыпуклости и голоморфности областей И , [14] , теорема
Бремермана о функциях Гартокса II] ), плюрисубгармонические функции входят в класс субгармонических функций. Последние достаточно хорошо изучены [5] , [6], [8] , [II], [31] , поэтому возникает возможность применения методов теории субгармонических функций и теории потенциала в комплексном анализе. Однако здесь без отделения классов субгармонических и плюрисубгармонических функ -ций не обойтись. Следовательно, весьма актуальным представляется установление количественных и качественных связей между упомяну -тыми классами функций.Поскольку эта проблема является довольно обширной, мы сформулируем постановку лишь нескольких задач.
I. Установить количественную меру плгарисубгармоницности плюрисубгармонических функций.
Пусть п
' ’ Л
(Н Кг.“)
IL*
--- U)MOUv , М

рЛ>
есть форма Леви, заданная на пространстве дважды непрерывно дифференцируемых функций в области . Для плюрисубгармонических функций 1А
^ (Н*ц)С1Ь»«л) £<> ,1 $0
Под количественной мерой плюрисубгармоничности плюрисубгар -монических функций класса СЧО) мы будем понимать сущест
вование такого линейного дифференциального оператора 2-го порядка 15^ , что
1) (Ри)Ш » для всех плюрисубгармониІ^І-А 7. г
ческих фикций 1{ класса цъ с)
2) (Ри)С2:) Н. хотя бы для одной
плгарисубгармонической дважды непрерывно дифференцируемой в пространстве С" функции ”Ц
Аналогичную задачу ставим для произвольных плюрисубгармони -ческих функций.
2. Найти объемный критерий плюрисубгармоничности функций.
Для локально суммируемой в (С функции тд обозначим через , соответственно среднее по сфере
^В(Ї.£)=[К(С" •• и среднее по шару В» сад
- ^6С”: Ц-2|<а}
Известно ( см., например, Брело [6] ), что полунепрерывная
сверху в области О функция "Ы ^ — оо субгармонична тогда и только тогда, когда для всех достаточно малых £>о
ЬгЮ > &гЫ , 2 ё О.
Ставится задача о нахождении аналогичного критерия для плюрисуб -гармонических функций.
3. Определить условия плюригармоничности суммы потенциалов двойного и простого слоев.
Задачи поставлены автором данной работы самостоятельно, ка -ких либо упоминаний о них в математической литературе не обнару -кено.
В диссертации используются методы теории потенциала, много -мерного комплексного анализа. Все полученные результаты являются новыми. Перечислим наиболее важные из них.

= 151 I ииС"ЬгМ(.(Ъ»У№)*» .

Из этого равенства следует, что почти всюду в области ^ справедливо предельное равенство
СНтД»и)С^,^) - (Ц (£,«).
т->«о
Используя это равенство, ( 4 ) и лемму 1.1, получим неравенство
^ 1 М
справедливое почти всюду в области О .

Глава II. ОБЪЕМНЫЙ КРИТЕРИЙ ПЛЮРИСУБГАРМОНИЧНОСТИ ФУНКЦИЙ
§ 2.6. Плюригармоничность локально суммируемой функции.
Пусть есть некоторая область в пространстве (С.*1 .
Под функцией класса сДО) будем понимать функцию, имеющую все частные производные в области О до порядка т включительно, непрерывные в О [10] .
Определение 2.6. Функция Ц* ‘
называется определяющей для области , если
1) 4>еСЧО) ; ^6^0,
2) <РЙ0 <о,2£0; фсг)-о, гоО.
Введем следующие обозначения:
« )_1 . *2.- 2.Ю
ада 7 — Гп~^- ’ ^4 — - фундаментальное решение
-Р <Г31П С^'2)