Факторизация и параметрическое представление классов мероморфных функций с ограничениями на рост характеристики Неванлинны

• Автор: Шубабко, Елена Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 107 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА I. Классы мероморфных в круге функций, характеристика Неванлинны которых допускает степенной рост вблизи единичной окружности

§1.1. Доказательство вспомогательных утверждений

§1.2. Характеризация полюсов и корневых

множеств класса Ы(а,а>)

§1.3. Параметрическое представление класса А(а,са)

§ 1.4. О свойствах бесконечных произведений Вр(г,Лк)

§1.5. Параметрическое представление классов А(а)

§1.6. Оценки коэффициентов разложения функций класса А(а) и

описание мультипликаторов

§! .7. Параметрическое представление класса Аа(а,а)
в односвязной области
ГЛАВА II. Факторизация и параметрическое представление классов мероморфных функций, характеристика Неванлинны которых принадлежит весовым 1р пространствам §2.1. Новое параметрическое представление класса N^(0)
в единичном круге
§2.2. Параметрическое представление и характеризация множеств нулей и
полюсов класса А*(С) на конечной плоскости
§2.3 Описание корневых множеств класса N(01, а,/3)
ЛИТЕРАТУРА
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы. В теории мероморфных функций, как, впрочем, и во всем комплексном анализе, одним из важнейших направлений является изучение задач, связанных с характеристикой полюсов и корневых множеств и построением факторизационных представлений различных классов функций. Развитие этого направления началось со ставших классическими факторизационных теорем Вей-ерштрасса, Адамара и Бореля в теории целых функций конечного порядка, построения внешне - внутренней факторизации классов Харди и функций ограниченного вида в классических работах Р. Неванлинны и В. И. Смирнова. Эти результаты изложены в хорошо известных монографиях Р. Неванлинны [1-2], И. И. Привалова [3], Б. Я. Левина [4], М. М. Джрбашяна [5], А. А. Гольдберга и В. И. Островского [6], П. Кусиса [7]. Д. Гарнетта [8], У. Хеймана [9], К. Гофмана [10]. Помимо того, что результаты, полученные в этой области, представляют самостоятельный интерес, они играют существенную роль в исследовании внутренних проблем комплексного анализа и его приложениях в других разделах математики.
Целесообразность применения все более широких классов функций в различных научных дисциплинах обуславливает необходимость дальнейшего развития аппарата представлений комплексного анализа и поиска новых факторизационных представлений, отвечающих особенностям вновь возникших задач.
Цель работы. Целью настоящей диссертации является установление свойств множеств нулей и полюсов и факторизационных представлений весовых классов мероморфных в круге и на конечной плоскости функций.
Методы исследования. В работе применяются методы линейного и комплексного анализа, а также более специальные методы теории интегро-дифференциальных операторов и теории функциональных пространств.
Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты: - установлена полная характеризация множеств нулей и полюсов и построены параметрические представления классов мероморфных в круге функций, характеристика Неванлинны которых имеет мажоранту, допускающую степенной рост при приближении к граничной окружности;

- получены аналогичные результаты в односвязной области;
- найдены точные оценки коэффициентов и описано множество мультипликаторов из указанных классов;
- построено новое параметрическое представление классов мероморфных в круге функций, характеристика Неванлинны которых принадлежит весовым пространствам 1/ (0<р< +<»);
- получены аналогичные результаты для классов мероморфных на конечной плоскости функций;
- установлено описание множеств нулей и полюсов и построено параметрическое представление классов мероморфных на конечной плоскости функций, характеристика Неванлинны которых принадлежит пространству L' с экспоненциальным весом.
Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты работы Moiyr быть использованы в общей теории мероморфных функций, в теории операторов, гармоническом анализе.
Апробация работы. Результаты исследования нашли отражение в десяти печатных работах, докладывались на Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 2001 г.), на XXIII Конференции молодых ученых механико - математического факультета МГУ (Москва, 2001 г.), на семинаре по пространствам голоморфных функций Брянского университета имени академика И. Г. Петровского (1996 - 2001 гг.). Основные результаты диссертации опубликованы в работах [45 - 54].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых в общей сложности на 10 параграфов, и списка использованной литературы. Работа занимает 107 страниц. Библиография содержит 54 наименования.
Содержание диссертации.
Для изложения содержания диссертации вначале приведем обзор некоторых результатов, связанных с тематикой работы. Пусть 7)={z:|r| круг на комплексной плоскости, H(D) - множество всех голоморфных в I) функций. Характеристикой Неванлинны мероморфной функции f назовем функцию
§1.3. ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КЛАССА N(a,a)
В этом параграфе построено параметрическое представление класса N(a, со).
Теорема 1.2.
Пусть со е S, а-аш > 0 и f3>aТогда класс N(a,a>) совпадаете классом функций, допускающим в единичном круге представление
f(z) = zm^p~}ep(h(z) zgD, (1-21)
где КГ"» ЮГ” (0<К|<К+,|, О<К|<К+11, к=1,2,..) - произвольные последовательности из D, удовлетворяющие условиям
пОМЛ^с,(0<г<1), (1.22)
nfi{z,ak) и л:fi(z,bk) - произведения вида (1.14), h(z)e Н(а,со), т-целое.
Следствие. Пусть ojgS, а-аю> 0. Для того, чтобы мероморфная в единичном круге функция принадлежала классу N(a,co) необходимо и достаточно, чтобы ее можно было представить в виде отношения двух аналитических в D функций, принадлежащих классу А(а,со).
Доказательство теоремы 1.2.
Пусть/е N(a,a>). Докажем, что в этом случае f допускает представление (1.21). Не уменьшая общности, будем считать, чю/(0)=1. Согласно теореме 1.1, если f(z)£Q, оо, то нули и полюсы / удовлетворяют условию (1.22) и при р-а-/За+>0 произведения я/((г,ак) и np(z,bk), а также их отношение,
nÂz.b.)
принадлежат классу //(«, со). Покажем вначале, что функция g(z) = ---------/(г)
n„(.z,ak)
принадлежит классу N(a,a>). Несложно видеть, что g(z) - аналитическая в D функция, не обращающаяся в ноль, и