Главные подмодули и инвариантные подпространства аналитических функций

• Автор: Письменный, Роман Геннадьевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Славянск-на-Кубани
• Количество страниц: 104 с.

Содержание
Введение

Глава 1. Полиномиальная аппроксимация целых функций экспоненциального типа

1.1 Теоремы сравнения

1.1.1. Обозначения и основные результаты

1.1.2. Доказательство теоремы

1.1.3. Доказательство теоремы

1.2 Теорема о расщеплении

1.2.1. Основная лемма

1.2.2. Доказательство теоремы о расщеплении

1.3 Аппроксимационная теорема

1.3.1. Формулировка теоремы
1.3.2. Промежуточные результаты
1.3.3. Доказательство аппроксимационпой теоремы
Глава 2. Интерпретация результата в терминах задачи спектрального синтеза
2.1 Схема двойственного перехода
2.1.1. Оператор 7г(П)
2.1.2. Постановка задачи спектрального синтеза
2.1.3. Постановка задачи локального описания
2.1.4. Двойственность
2.2 Спектральный синтез и индуктивное описание
2.2.1. Индуктивное описание
2.2.2. Пространство М
2.2.3. Спектральные вопросы
2.2.4. Спектральный синтез и индуктивное описание
2.3 От локального описания к проективному описанию

2.3.1. Проективное описание
2.3.2. Пространство
2.3.3. Локальные вопросы
2.3.4. Локальное и проективное описания
2.4 Теорема двойственности
2.4.1. Принцип двойственности
2.4.2. Схема двойственности
2.4.3. Теорема двойственности
2.5 Главные С[-7г]-подмодули в Р
2.5.3. Обильность главных С[7г]-подмодулей в Р
2.5.4. Связь с задачей спектрального синтеза
Список литературы

Введение

1. Пусть О — односвязная область вС;Я = Н(£2) — пространство функций, аналитических в £2, наделенное топологией равномерной сходимости на компактах; I) — оператор дифференцирования действующий в Н. Подпространство Ж С Н называется инвариантным (относительно оператора £>), если £>Ж С Ж Корневым подпространством оператора 27, отвечающим собственному значению Л 6 С, называется непустое подпространство

и(/€Я:(В-А)»/ = 0}СЯ.

Элементы корневых подпространств принято называть корневыми элементами оператора 27. Говорят, что замкнутое инвариантное подпространство Ж С Н допускает спектральный синтез, если замыкание линейной оболочки корневых элементов оператора 27, лежащих в Ж, совпадает с Ж. Задача спектрального синтеза для оператора 27 состоит в нахождении условий, при которых замкнутое инвариантное подпространство Ж С Н допускает спектральный синтез.
Инвариантные подпространства Ж С Я возникают естественным образом в той части комплексного анализа, которая имеет дело с задачами аппроксимации аналитических функций линейными комбинациями экспонент и которая возникла в классической теории рядов Дирихле. Задача спектрального синтеза для оператора £2 в комплексной области представляет собой перенос на аналитические функции известной задачи Берлинга о гармоническом синтезе на вещественной прямой [72]. Впервые задача спектрального синтеза для оператора 27 была рассмотрена в 1947 г. Л. Шварцем в его известной монографии о периодических в среднем функциях [78].

+ (Ъа (; Г)Л) — Ьа (г; Л)) +
+ (1п 1 Са(г-, Г|А)| - 1п |Оа{г- А)|). (1.1.26)
Положим в (1.1.26) а — 1 и применим к соответствующим компонентам полученного представления оценки (1.1.20), (1.1.21), (1.1.22) и теорему 1.1.3. Получим такую оценку:
1п|С(г;Г)| — 1п|С(*;Л)|
1+2(2
/ „ни 1 + 2<1 Г п1(;Г|Л)
= "1+м>(*;Г|А)1в7та- у д-п,(г;л)ь-+

/#+> + + °(Ы'> + ьГш)

1 + < 3 при 0 < У < Поэтому

1п№;Г)|-1п|(?(г;Л)|
п4(г; Л) - пгд(г;
(|г| > 1 0 < <1 < |). Замечаем, что тг-ц-гд(-; Г|А) = Пх(г; Л) и что
1 4-

*(1 +

1+2<* 1 [ им(г;Г|А) , ,, п /*пм(2;Г|Л)-Пг(2;Л)
- У «Т+ц д+омми) = -у

+О(сс0МИ) (И>/;0<«*<). (1.1.27)
При 0 < * < 1 — 2с£, в силу —-близости последовательности Л к последовательности Г, из т* £ Дг(-г) следует А* £ Дх(-г)- Поэтому при таких значениях £ щд(г; Г|А) — п*(г; Г). Отсюда имеем:
1 1-2 <2
ГпфГ]Л)Л= Г пфГ]Л)й+ Л)д
у £(1 + *) у *(1 + *) у £(1 + £)
0 0 1-2(2