Об асимптотике обобщённого следа операторов свёртки на расширяющихся многогранниках

• Автор: Максименко, Егор Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Ростов-на-Дону
• Количество страниц: 149 с.

Глава 1. Главный член асимптотики обобщённого следа
многомерных континуальных свёрток
1.1. Основные обозначения и некоторые общие сведения
1.2. Числовой образ и спектр оператора свёртки
1.3. Ядерность оператора усечённой свёртки
1.4. Предел усреднённого обобщённого следа
Глава 2. О следе произведения операторов свёртки,
усечённых расширяющимися многогранниками
2.1. Выпуклые многогранные множества
2.2. Алгебра Kr*m(Mn)
2.3. Функция v и её свойства
2.4. Равностепенно плавные семейства операторов
2.5. Об асимптотике следа произведения усечённых свёрток
Глава 3. Операторы свёртки на расширяющихся многогранниках:
пределы норм обратных операторов и псевдоспектров
3.1. Банаховы алгебры с локальной структурой
3.2. Определение алгебр W'х и с&х
3.3. Изоморфность алгебр 3^, (У^к)о и (&к в случае конуса
3.4. Локальный изоморфизм
3.5. Иерархия многогранных конусов
3.6. Вложение Wx в Ilxevert(X) ^cono(X-x)
3.7. Пределы псевдоспектров

Глава 4. Об асимптотике обобщённого следа операторов свёртки
на расширяющихся сегментах и многоугольниках
4.1. Определение и свойства операторов Ва<к
4.2. Построение асимптотически обратного оператора
4.3. Одномерный случай (п = 1)
4.4. Плоский скалярный случай (п = 2, т = 1)
Предметный указатель
Литература

В работе рассматриваются операторы свёртки на множествах вида тХ, где X — выпуклый многогранник, г > 0. Исследуется асимптотическое поведение обобщённого следа этих операторов при т —> +оо. При некоторых дополнительных предположениях доказано, что главная часть асимптотики представляет собой многочлен от т степени не выше п, а скорость стремления к нулю остаточного члена зависит от гладкости символа свёртки.
Пусть п,гаЄНир^1.
Обозначим через Утхт(К") алгебру винеровских матриц-функций на К", состоящую из матриц-функций вида
еі{х'ь)к{х)йх (ІЄГ), (0.0.1)
где с Є Стхт и к Є Ь^1Хпг(Шп), т. е. с — квадратная матрица порядка гп с комплексными элементами, к — интегрируемая матрица-функция (Стхт-ЗНачНОе отображение).
Для любой матрицы-функции а Є И/тхт(Мп) обозначим через Са оператор, действующий в Ь{Шп) по правилу
(Са/)(у) = с/(у) +[ Ну- х)Пх) Лх (,у еГ,/е ££(№)).
(0.0.2)
Говорят, что Са — оператор свёртки с символом а. Если X — измеримое подмножество Мп, то определим оператор Са,х в пространстве Ь(Х) следующей формулой:
(Са>хту) = с/(у) + ІНу-х)/(х)сІх (уЄХ, /еда
(0.0.3)
Говорят, что СаЛ — оператор свёртки с символом а на множестве X. Если р(Х) < +оо, то Са,х также называют оператором усечённой
а(і) — с +

Крайние подмножества выпуклого многогранного множества
Определение 2.1.2 (см. [43]). Множество У £ Сош/(Т) {0} будем называть крайним подмножеством множества X £ Сопу(Я) {0}, если У С X и
для любых XI € X и Х2 £ X У пйегуаЦх!, хг) П У = 0. (2.1.1)
Множество всех крайних подмножеств множества с1об(А) обозначим через Ех1;г(А).
Условие (2.1.1) можно записать в эквивалентном виде: для любых х £ X и Х2 £ X из т!егуа1(х1, хг) П У ф 0 следует, что Х, хг £ У.
Если х £ X £ Сопу(Т), то пусть Ех1гх(А) = {Е £ Ех^Х) | х £ Е}.
Предложение 2.1.11. Пусть X £ СопуРо1(Т), причём X = ПП, где П — конечное подмножество НаНЗр(Я).
(1) Если Е £ Ех1;г(Х), то Е = р1(Я) Г) с1оэ(А), причём
р1 (Е) = П{&(Я) | Я € П, Е С Ь(Н)}.
(2) Если х £ с1ов(Х), то существует единственное Е £ Ех1г(А), для которого х £ геИп1(Я).
> 1. Пусть Е £ Ех1г(А). Зафиксируем х £ геНп^Я) = ш^рЦ^Я). Если у € р1(Я) П с1оз(А), то, по утверждению (2) леммы 2.1.1, Е П т!егуа1(х, у) ф 0, а так как Е £ Ех^А'), то у £ Я. Итак, р1(Я) П с1об(А) С Е. Противоположное включение очевидно.
Пусть Р = П{£г(Я) | Я £ Пд}. Выберем такую окрестность Я точки х, что и С т1;(Я) для всех Я £ П Пд. Тогда Я П Р С Я П с1оз(А), и х £ шЬр(Р П с1оз(А)). Если у £ Р, то, по утверждению (2) леммы 2.1.2, найдётся такая точка г £ Р П с1оя(А), что х £ т!егуа1(у, г). Выберем такую точку г £ Р П с1оэ(А), что х £ т1егуа1(г1, г). Поскольку Е £