Линейные операторы в пространствах с индефинитной метрикой и квадратичные гамильтонианы

• Автор: Хорошавин, Сергей Александрович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 107 c. : ил

ОГЛАВЛЕНРІЕ

1. Предварительные сведения

1.1. *-представления,ассоциированные с линейными

S-эрмитовыми функционалами

1.2. Групповые *-алгебры

2. Квадратичные мажоранты полуторалинейных S-эрмитовых форм

2.1. Неотрицательные квадратичные формы

2.2. Комплексификация

2.3. Инвариантные мажоранты

2.4. Минимальные мажоранты

2.5. Представимые мажоранты

2.6. ЗадачаВрейна
3. Квадратичные состояния на ^-алгебрах Вейля
3.1. *-алгебра Вейля над (пре)симлектическим пространством и квазисвободные ^-автоморфизмы
3.2. Состояния на ^-алгебрах Вейля. Различные результаты
3.3. Квадратичные состояния. Чистые квадратичные состояния
Литература

При исследовании устойчивости решений дифференциального уравнения
+А Kll) + Bx(t) = 0 (i)
второго порядка с операторными ограниченными самосопряженными коэффициентами А , В часто пользуются следующим приемом (см. напр, [i]) : уравнение (I) приводится к уравнению (относительно новой неизвестной V )
ych * }Hy(t), (2)
где Н - ограниченный самосопряженный оператор во вспомогательном гильбертовом пространстве ^ со скалярным произведением (,) , а - самосопряженный оператор в том же
гильбертовом пространстве, удовлетворяющий соотношению = I . При этом оператор , не являясь вообще говоря самосопряженным по отношению к ( , ) , является самосопряженным по
отношению к индефинитному скалярному произведению {.* •)
в следующем смысле:
(V, = уЛ ‘vy,,y*eVРассмотрим задачу Коши для уравнения (2) ; пусть U(t)'. соответствующий пропагатор:
ijjfUtt) = }Н11Ш , UCO) -I,U(t+t,)-U(«U(«.
Оператор №) при любом t 6R оказывается унитарным по отношению к {,} оператором:
{U(t)y, ,и(МуЛ =(у„уг>,

и некоторые вопросы устойчивости решений уравнения (I) приводятся к задаче вычисления максимального неотрицательного инвариантного, относительно действия группы шгт подпространства (_ пространства , т.е. такого замкнутого подли-неала й пространства , что при всех ЬеК ишиь,
{.у, у> 2 О (V у еЬ ) (з)
и такого, что Ь - максимальный по теоретико-множественному включению линеал среди линеалов, удовлетворяющих (3). В частности, система (I) устойчива
змб1к+ у <: е к шкап * м,
тогда и только тогда, когда существует такое максимальное неотрицательное инвариантное подпространство I. , что ,
1} = I + !>5 , м
где :={ге^з1СУХ-6 I) {.Х-2>=0} при этом автоматически оказывается ЬгД л = {0} . Если в случае (4) положить
VУ, е I., уг е Г4'1 С) (У< + Уг) ! = (У< ,У<} - (Уг,Уг) ,
то отображение С| будет квадратом гильбертсвой нормы на , инвариантной относительно действия всех и«) <ию, и кроме того будет выполняться неравенство
КУ, УоПг (УУ, у„ еЦ-), (5)
т.е. q будет по терминологии [2, с.58, 77] квадратичной мажорантой формы }
В том случае, когда система не является устойчивой,
{ ^^инвариантной квадратичной мажоранты формы {.,]) уже
не существует (однако может существовать максимальное неот-

Покажем, что мажоранта CJmjK миншлальна на В силу (28), (29) и предложений I и 2 достаточно показать минимальность мажоранты q*^ • Предположим, q0 - мажоранта формы {, )cj и CJo - * ^0ГДа> так как
мажоранта q mi-K конечна, существует линейный ограниченный самосопряженный оператор Qo:^Зя 3 для которого
<*,Q.f>, - я.(М) (30)
О < Q0 < А,| . (31)
Воспользуемся вторым определением квадратичной мажоранты, в данном случае имеющем в силу (30), (17) следующий вид:
2|<1<Д |А,К>„|< <'fe,Qo^>4 +<•£, Q0{ >,. №)
Полагая в (32) к : - i и учитывая (22),
(23), получаем 2 I AQ I < 7Г Q0 ~$а + Qo • Следовательно,
так как Qo * lAnl , имеем
я1 - J q
ql »
21А,1 <3*0,1 +й0 * Э 1А,|1, + 0о
1А, I + 0„ = 1А,1 + Оо.
Тем самым 1А,1< о0 , что вместе с (31), (30)
и определением (26) мажоранты Пж;к дает 1А,1 = 0„
9о ~ 9^^ * Следовательно (ввиду предположения q0< 9«11И )
- минимальная мажоранта, а " минимальная
на ^я - Ч }и мажоранта.
Наконец, отметим следующее. Пусть мажоранта С| минимальна на Г)с| . Тогда 1 Ац - I, = Б1 I. Действительно, из минимальности q на Т^с) и из (29) следует, что q = qmjw и, значит, по определению (26),