Плюс-операторы и мера в пространстве с унитарнопорожденной полуторалинейной формой

• Автор: Владова, Елена Владиславовна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Ульяновск
• Количество страниц: 100 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
$0. Вспомогательные сведения
Глава I. УНИТАРНЫЙ ОПЕРАТОР КАК АНАЛОГ ,! - СИММЕТРИИ
$1. Разложение унитарного оператора на сферическую и гиперболическую составляющие.
$2. Спектр операторов класса V* в пространстве с полуторали-ней ной формой
$3. Плюс-операторы в пространстве с полуторалинейной формой
Глава II. МЕРА НА ЛОГИКАХ ПРОЕКТОРОВ
$4, Некоторые свойства проектори нгх логик
$5. Полуследы на. логике 'Рц
$6. Мера иа индуктивном пределе нроекториых .логик
Литература.

ВВЕДЕНИЕ
В нашей работ е в линейном пространстве с полуторалинейной формой вида более общего, чем индефинитная метрика, вводятся и изучаются аналоги известных (для пространств Крейна) классов плюс-операторов и некоторые классы мер на проекторах самосопряженных относительно унитарнопрожденной полуторалинейной формы.
К задаче изучения полуторалинейных форм, ассоциированных с операторами, приводит развитие теории меры ка. логиках проекторов. Проблема описания вероятностной меры на проекторах, в физической терминологии - сос тояния, возникает в некоторой системе аксиом квантовой механики, предложенной Макки [Мае], Варадараяном [Var]. Множество 'Р„. всех ограниченных идсмиотентов самосопряженных относительно произвольной полуторалинейной формы «(•,■) образует квантовую логику. Актуальность изучения мер на логиках Ра подчеркивается еще и следующей проблемой Биркгофа, см. монографию ([Ві.г], Проблема, і 10, стр.371, см. также проблему 88 стр. 547), которая звучит так: Разработать алгебру вероятностей дли квантовой механики.
Хорошо известна теорема Глисона [Ole] (см,также [СКМ]), характеризующая состояния, заданные на множестве всех ортогональных проекторов (т.е. ограниченных идемлотентов, самосопряженных относительно скалярною произведения (•, •)) в гильбертовом пространстве и являющаяся наиболее фундаментальным результатом в этом направлении. Доказанная для сепарабельных гильбертовых пространств в 1957 году она с тех нор привлекает к себе большое внимание физиков и математиков. Знаменитая теорема. Глисона, послужила основой некоммутативной (и неассоциативной) теории меры и интеграла. Как отмечает сам Глисон [die], метод решения, использованный им, принципиально не применим к алгебрам операторов, отличным от Н{Н) (см. [Ole]).
Проблема описания мер на проекторах из факторов (Неймана) общего вида. была, доставлена Макки в монографии [Мае]. Вначале теорема Глисона обобщалась на ортопроекторы из произвольной алгебры Ией мала (см. например, [М80], [М81] и [Y83]), а. затем и на, косые проекторы [М91с]. При изучении меры на косых проектрах использовалось расслоение логики косых проекторов на. слои проекторов, изоморфные логике ортогональных проекторов. Затем к слою проекторов применялся вещественный (не обязательно вероятностный) аналог теоремы Глисона,
Расслоение же проводилось с помощью полуторалмнейной формы, задаваемой с помощью оператора неотрицательною (следовательно, нормального) имеющего ограниченный обратный. Геометрия одномерных проекторов при этом в каждом слое оказалась тесно связанной с единичной сферой.
На линейных пространствах, наделенных индефинитной метрикой ( = иолуторалидейной формой, ассоциированной с канонической симметрией) мера на проекторах впервые была изучена, в работ ах [М.91Ь], [М97Ь]. А вероятность на проекторах (в факторном случае) в индефинитных пространствах впервые была описана в [М97а]. В индефинитном случае геометрия одномерных проекторов оказалась принципиально иной. Отметим, что в случае алгебры В(Н) она, оказалась связанной с двуполостными и однополостными гиперболоидами вращения.
Как мы видели выше в обоих случаях существенное продвижение в изучении мер на проекторах достигалось за счет введения нолуторади-нейных форм, ассоциированных с ограниченным нормальным (первый раз с положительным, второй раз с симметрией) оператором. 'Гак развитие теории меры на проекторах подвело к вопросу:
Не является ли всякая полуторалинейная форма я(-, •) ассоциированная с ограниченным операторам, имеющим ограни,%‘Знны.й обратный, в некотором смысле комбинацией форм, ’’сферического1’ и ”гиперболического” типов? Можно сказать и но-другому: не является ли логика Т„ в некотором, смысле комбинацией (суммой) логик сферического и гиперболического типов. Иными словами, не сводится ли идунекие мер на логиках 'Ра к некоторой комбинации методов, использованных дли сферических: и гиперболические: логик V
Часть наших усилий была направлена на решение этого вопроса. При этом в результате наших исследований возникла задача о некотором ’'обобщенном” полярном представлении ограниченно обратимого оператора Л именно, охарактеризовать все ограниченно обратимые операторы I), которые можно представить в виде произведения положительного оператора. X и оператора V' унитарного относительно полутораливойной формы, ассоциированной с X. Как оказалось, операторы, обладающие обобщенным: полярным разложением, тесно связаны с задачей о * хорошем аналоге”. А именно, одним из результатов данной работы является следующий:
Полуторалинейшш форм,а, ассоциированная с любим онрапичскным

Оказалось, что доказательство для U — J из [Bog], (см. также [А/1, глава IV, стр.252]) в достаточной степени алгебраическое, оно без всяких изменений переносится на алгебры Неймана. А с учетом этого обобщения и подготовки, проведенной нами выше (см.формулу (1.6) и предложение 1.12) оно переносится и на. //-неотрицательные операторы. Факт ически, учитывая предложение 1.12, нам остается убедиться только, что ироск-торнозначиая функция А —> Е>, построенная как в [Aal], [Bog] (только но симметрии Ja) принимает значения в R'(U2). Поэтому мы приводим здесь доказательство только пунктов 1), 2) и последней части утверждения теоремы 8.
Отметим вначале, что в нашей формулировке пункт 2) получил с пашей точки зрения более естественное, чем в [А/Л], звучание. Сравнение нашего условия 2) и условия 2) из ([Л/Л], стр.252) приведено в замечании

Положим И JrjA. Но предложению 1.12 В > 0. Таким образом, определен оператор С В''1ц В'/2 -- С*. Непосредственно лровсряст-

ся, что СВ'/'1 — В1/2А. Пусть С — [ А с(/д-спектральное разложение
-Цдц-
оператора С. Здесь мы учли, что ||(J|| < \В\ < J]/lj|. Вудем считать разложение единицы /д непрерывным справа. Положим С := С|/дй при А < 0 и Сх := 6’|(/ — /д)// при А > 0. Определим операторы Ex := JvB'KCx'fxB1/1 при А '< 0, и FA := JuB'/HJ^U -* h)B'/2, Ex := / — Ад при А > 0. Заметим, что все операторы построенные в этом абзаце принадлежат алгебре Я'{1!2).
2) Операторы Ад являются ограниченными при каждом A 0. Далее, если А < 0 (соответственно А > 0), то С1/ £ 0 (С'~1(/ — /) > 0 соответственно). Следовательно операторы 6'{*'/д, А < 0 и <7("'(/ — ,/>, А > 0 являются самосопряженным и. Ото означает, что оператор Ех при А < 0 (I — при А > 0) Jy- неположителен (Jy-неотрицателен, соответственно). Применим теперь предложение 1.12. Получим, что Ех, А < 0 U неположителен, а / — А-л. А > 0 U -неотрицателен.
I) ССх'/а = /а при А < 0 и СОф'(1 — /д) — i — /д при А > 0, то ЕхЕр. = A.,АЛ = Ад при А < д. Таким образом, Ад-проекторы.