Строение и классификация йордановых алгебр самосопряженных операторов

• Автор: Усманов, Шухрат Мутталлибович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1985
• Место защиты: Ташкент
• Количество страниц: 139 c. : ил

ГЛАВА I. ДИСКРЕТНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ, ВЕЩЕСТВЕННЫХ

ФАКТОРОВ ТИПА Ш

§ 1.Х. Предварительные сведения

§ 1.2. Вещественное скрещенное: произведение вещественной алгебры фон Нейшна на: автоморфизм

§ 1.3. Дискретное разложение вещественных факто

ров типа Щ 50<Я<1

Я Д'
§ 1.4. Построение _ инвариантного лакунарного веса бесконечнойкратности на.факторе типа
- • Л*'--».
Щ0 ... .'Г

§ 1.5. Дискретное разложение вещественных факторов типа Щ

§ 1.6. Изоморфизм вещественных факторов типа ГП0
Глава II. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ОНЛГЕБРЫ И -ТЮРЬМА ОВЛОЖЕНИИ
§ 2.1. К. - топология на 03 - алгебре .... .102 § 2.2. Существование и единственность . Я - топологии
§ 2.3. Вложение топологической 03 - алгебры в
универсальную топологическую ОЛ - алгебру
ЛИТЕРАТУРА

Йордановы алгебры были введены в 1934 году в работе Йордана, фон Неймана и Вигнера [ 32] в целях алгебраического описания множества наблюдаемых в квантовой механике.
После этого длительное время в алгебраической переформулировке квантовой механики использовались алгебры фон Неймана, и йордановы алгебры изучались с чисто алгебраической точки зрения (см., например, [16, 31] ).
В 1947 году Сигал предложил отождествить множество наблюдаемых с элементами некоторой равномерно замкнутой йор-дановой алгебры. Это впоследствии стимулировало интерес к йордановым алгебрам* В середине 60-х годов в работах Толлинга [46] и Штёрмера 140] впервые были рассмотрены неассоциативные аналоги алгебр фон Неймана - Л у - алгебры, т.е. слабо замкнутые йордановы алгебры самосопряженных ограниченных операторов в комплексном гильбертовом пространстве. Структура этих алгебр оказалась близка к структуре алгебр фон Неймана, и в изучении ЛЫ - алгебр оказалось возможг-ным применить идеи, сходные с идеями теории алгебр фон Неймана. В работе Топпинга [46] была получена начальная классификация ЛУ - алгебр по типам X , , а в
работах Штёрмера [42 , 431 и Ш. А .Аюпова [7, 8, 24] была решена проблема о связи типа ЗУ - алгебры и типа её обертывающей алгебры фон Неймана, а также изучены 3^ - алгебры типа X • Возникла задача изучения Л\[ - алгебр типов
5. и 1]

В работе [42] Штёрмер доказал, что всякая ду - алгебра А типа X или Щ изоморфна прямой сумме А с Ф А г Л]д[ - алгебры А ^ = XI (Ас] , являющейся самосопряженной частью алгебры фон Неймана Х1(А(1') и 1у - алгебры Аг~ К (А » являющейся самосопряженной
частью вещественной алгебры фон Неймана А (А^) » т,е*
вещественной * - алгебры ограниченных линейных операторов в комплексном гильбертовом пространстве, замкнутой в слабой (операторной) топологии и обладающей следующим свойством:
&.СА^П1&(Аг) .
Таким образом, задача изучения Л У - алгебр типа
И и Щ в существенном редуцируется к.изучению вещественных алгебр фон Неймана типа X и Ш •
Поскольку с каждой вещественной алгеброй фон Неймана единственным образом связан некоторый инволютивный * - антиавтоморфизм обертывающей алгебры фон Неймана, то при изучении вещественных алгебр фон Неймана необходимо изучать
и инволютивные * - антиавтоморфизмы алгебр фон Неймана. Используя результаты Джиордано 1291 по классификации инво-лютивных * - антиавтоморфизмов, Ш.А.Аюпову удалось получить полное описание так называемых инъективных А\[ - Факторов [Ю] • Следующим естественным шагом в этом направлении является изучение вещественных алгебр фон Неймана типа |]1 , не обязательно инъективных.
Одним из значительных результатов теории алгебр фон Неймана является построенная А.Конном классификация (у -конечных факторов фон Неймана типа У] по типам 1Н
О 6. % £ 1 , и дискретное разложение факторов типа 1Н
О ^ А ^ 1 [26]

что Ц*Ц. = р , ЫН* ~ .
Лемма 1.3.2. В СГ - конечной вещественной алгебре фон Неймана А типа ![<*> или № существует последовательность проекторов •] 0^1°° попарно ортогональных,
1 г а' П
попарно эквивалентных и таких, что Ри- 'И •
Доказательство. Так как А имеет тип
1] ^ или 1\ , то чисто вещественная ЛУ - алгебра А5д собственно немодулярна. По лемме 2.3 (I) из [46]. ,
в А существует последовательность попарно ортогональ-вА
ных, попарно эквивалентных в ЛУ - алгебре А^д проекторов. Пусть |
таких проекторов,
такие, что XI и 9 . Ц * = Р , и 9 - ЗЕИ £ • Построим
В Ц и. .—, И-

сначала проектор ре А » такой, что р '—' — р)'—' 0 я
А . Если £ = X , то в силу ортогональности | 9 к |}
ОО со
^ 1Е1р. ~ А.Тогда р^Х1е.г ,
И-1 П Л^0 2-УЛ+1 п

Х~р ~ 1Е1 Предположим, что В < X . Расу>-о
смотрим проекторы По Т80_
реме 10 из [46 ]7 существует наименьший центральный проектор Х&А » такой, что А £ Р1 £, %) Ъ
Ъ РЧ А - %) Е ЗУ - алгебре А$д • Пред-
| - некоторое максимальное семейство
|ц,^ " унитарные операторы из Я ,