Интегральная геометрия на геодезических римановой метрики

• Автор: Пестов, Леонид Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 147 с.

Глава 1. Некоторые предварительные результаты из дифференциальной геометрии

1. Горизонтальная и вертикальная производные

2. Горизонтальные тензорные поля

* 3. Дифференциальные и интегральные равенства

4. Геодезический поток и поля Якоби

Глава 2. Интегральная геометрия тензорных полей, вопросы единственности

1. Лучевое преобразование

2. Дифференциальные тождества и неравенства

3. а - простые метрики

4. Теоремы единственности

Глава 3. Сопряженное уравнение и угловой годограф

т 1. Угловой годограф и оператор /*,
2. Символ оператора 7^,/т
3. Теоремы сюръекции
4. Пространство С“(д+ЩМ)) и теорема о складке
5. Угловой годограф и первые интегралы геодезических
Глава 4. Двумерные задачи 105 1. Геодезическое векторное ноле и преобразование

Г ильберта
2. 0 разрешимости скалярной и векторной задачи
3. Формулы обращения и уравнения Фредгольма
4. Граничная жесткость
5. Обратная кинематическая задача
Список литературы

Интегральная геометрия - дисциплина, в которой изучаются вопросы восстановления функции, определенной на некотором многообразии по интегралам от нее но некоторому семейству подмногообразий меньшей размерности. В диссертации рассматриваются только те задачи интегральной геометрии, в которых интегрирование проводится вдоль геодезических некоторого односвязного компактного риманова многообразия с краем. Совокупность всех интегралов определяет лучевое преобразование функции. При этом интегрируемая функция может зависеть не только от точки многообразия, но и определенным образом от направления.
Рассматриваемые в диссертации задачи имеют важное значение как в приложениях, так и во внутриматематических вопросах. Они возникают в диагностике неоднородных сред (ультразвуковая томография в медицине, обратная кинематическая задача сейсмики в геофизике и т.д.), в теории обратных задач (например, при исследовании обратных задач для гиперболических уравнений и систем методом разделения особенностей [42], [68]). Отметим также проблему граничной жесткости римановых многообразий, возникающей в геометрии и имеющую тесные связи с задачами интегральной геометрии [58]-[60], [64], [66].
Если метрика задана, и, следовательно, геодезические известны, задачи интегральной геометрии линейны. При неизвестной метрике возникают нелинейные задачи. Наиболее важный пример - задача определения метрики д риманова многообразия (М,д) с краем ОМ по расстояниям (1д (т, у), х, у Е
Опять используя ограниченность отношения т°/ц и тождество (1-5) имеем
I т°/(/2 + |v/|2 + df2)dz <
д+ЩМ)
< с J ni{f + |v/|2 + |a/|2)ds = ll/ll
Тогда
P/ll ю(д+п(М)) ^ Z2(3Q(M)) + ll/ll
и в силу неравенства Пуанкаре ||/°||£1(вп(л/)) < У\ю(дЩМ)) получаем оценку
Р/Иядаддм)) ^ с11/11я1(0(м)) ■
Лемма доказана.
Отметим формулу Ньютона-Лейбница :
(IHh) (ж, £) = h (<Рт{х£) (х, 0) - h (х,О > (ж> О G 9+12 (М).
(1.7)
Пусть р - симметричное тензорное поле степени тп > 0. Имеет место равенство
Hpm = (dp)m+1 ,
где, напомним, d = crV - симметричная часть ковариантной производной. Тогда, если рдм = 0, то Im+1 (dp) = IHpm = 0. Т.е. оператор 7m, т > 1 имеет нетривиальное ядро, которое содержит потенциальные поля (т.е. поля вида / = сф) с нулевым потенциалом на краю. С другой стороны имеет место следующая теорема декомпозиции.