Асимптотическое поведение спектральной функции автоморфного Лапласиана

• Автор: Головчанский, Владимир Васильевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Владивосток
• Количество страниц: 61 с.

Глава 1. Спектральное тождество и оценка ядра
§1. Оператор Лапласа-Бельтрами на пространстве
Ь2(Р,х,<1ц(г))
§2. Основные факты спектральной теории оператора Лапласа-Бельтрами
§3. Спектральное разложение автоморфного ядра и
его специализация
§4. Оценка ядра кт(р, а)
Глава 2. Вычисление правой части тождества
§1. Суммирование правой части спектрального тождества но элементам ц Е Г : р(г^г') > 1 для компактной подобласти фундаментальной области
§2. Чисто гиперболические подгруппы
§3. Кокомпактные подгруппы с эллиптическими
элементами
§4. Некокомпактные подгруппы
Глава 3. Асимптотика спектральной функции
§1. Асимптотика спектральной функции 9(г,г',Т)
для кокомпактных подгрупп
§2. Асимптотика спектральной функции в(г,гТ)
для некокомпактных подгрупп
§3 Поведение собственных функций фз(г) при ] —>
оо для кокомпактных подгрупп
Заключение
Литература
Основы гармонического анализа на гиперболическом пространстве были заложены в основополагающей работе А.Сельберга [28]. Мотивом для его создания послужили задачи аналитической теории чисел и, в первую очередь, гипотеза Римана. Хотя гипотеза Римана с привлечением новых идей работы [28] так и не была доказана, однако эта работа послужила толчком как в развитии теории, очерченной самим Сельбергом, так и в разработке далеко идущих обобщений этой теории (Л.Д.Фаддеев [12], В.Рельке [26] И.М.Гельфанд, М.И.Граев, И.И.Пятецкий-Шапиро [5], Р.П.Ленглендс [21], Хариш-Чандра [17]).
Аналогом оператора Лапласа в 1?п, в гиперболическом пространстве Нп служит оператор Лапласа-Бельтрами. Аналогом периодических функций в Яп служат Г-а,втоморфные функции в гиперболическом пространстве Дп, где Г разрывная группа сохраняющих ориентацию изометрий гиперболического пространства.
Далее, ввиду обширности темы, мы ограничим себя изложением результатов для двумерного гиперболического пространства Н2. В пространстве Н2 группа изометрий (движений), сохраняющих ориентацию, представляет собой группу дробно-линейных преобразований с коэффициентами из группы 6X2(А).
Л.Д.Фаддеев [12] и В.Рельке [26] независимо друг от друга и существенно разными методами доказали теорему о разложении гильбертова пространства Г-автоморфных функций в прямую сумму подпространств, натянутых на собственные функции дискретного и непрерывного спектра оператора Лапласа-Бельтрами для дискретных подгрупп Г группы 6^2(7?), объем фундаментальной области которых конечен.
Асимптотика функции распределения собственных значений оператора Лапласа-Бельтрами для групп с фундаментальной областью конечного объема изучалась рядом авторов. Асимптотика для коком-пактных групп (группы с компактной фундаментальной областью) была получена в работе Д.Хейхала [18]. Для групп с некомпактной

фундаментальной областью (некокомпакные группы) асимптотика получена для модулярной группы 52/2(Д) в работе Н.В.Кузнецова [10], для конгруэнц-подгрупп модулярной группы асимптотика опубликована в монографии А.Б.Венкова [4]. Ползнение асимптотики для произвольной некокомпактной группы наталкивается на серьезные трудности, связанные с наличием в этом случае непрерывного спектра у оператора Лапласа-Бельтрами. Все полученные асимптотики вейлевского типа, однако в работе Р.С.Филипса и П.Сарнака [24] показано, что деформации арифметических групп при выполнении определенных условий приводят к исчезновению параболических форм. Таким образом, вопрос об асимптотике функции распределения оказался сложнее, чем думали ранее.
Исследование асимптотического поведения спектральной функции в(х,х]Т) самосопряженных эллиптических операторов началось с работы Т.Карлемана, который выделил главный член для уравнений второго порядка (см. Труды 8-го Математического Конгресса, Стокгольм). Результат Т.Карлемана для общего случая был получен Л.Гардингом. В работе Б.М.Левитана [11] для оператора Лапласа была получена оценка остаточного члена Я(х,х] Т) = 0(/Т). Л.Хермандер[19] обобщил результат работы[11] на случай произвольных самосопряженных положительно определенных эллиптических операторов и псевдо-дифференциальных операторов, заданных на компактном многообразии с тем же остаточным членом.
Практически не исследовано асимптотическое поведение спектральной функции Е{х,х']Т). Имеется одна публикация В.М.Бабича и Б.М.Левитана [1] в которой получена асимптотика спектральной функции оператора Лапласа-Бельтрами К(г,г';Т) для задачи Дирихле на компактной римановой поверхности с бесконечно гладкой границей, на которой выполняется условие положительности геодезической кривизны.
Целью настоящей работы является исследование асимптотического поведения спектральной функции оператора Лапласа-Бельтра-ми на замкнутой римановой поверхности с конечным числом точек ветвления и дырок. Хорошо известно, что такие поверхности уни-формиззчотся дискретными подгруппами 51/2 (-5)? фундаментальные области которых имеют конечный объем. В приложениях к теории чисел часто возникают автоморфные формы с характером, поэтому мы расширили класс рассматриваемых пространств введением ха-

Для оценки этих величин составляем разность асимптотических формул Предложения 2.3 при г = г' с весовыми функциями
кх+1 /уИт^ДпД) и Нх_х/^/тту^ДпТ). При г 6 До правые части асимптотических формул Предложения 2.3 в точности совпадают с асимптотическими формулами для кокомпактных подгрупп, поэтому достаточно рассмотреть только случай 2 € ДД г = 1, • • • г. В этом случае имеем:
|Ф(2,()|2 (Д+^_(Мп Т)- ЛХ_^_(1>Т)) А
ш^{{х + 7^)
2* *=ТМ] р{д' г,д~ г + к)
Х ~ у? хЬ*''Гі—Х — '^г'9- 1+^)
2гг 4=у;М1 лг *.**+*)
О (лТ2 шах (т1/4/л/ЫТ, у(г)Т 1/361п1/3 Д)
(3.17)
Правая часть (3.17) ввиду оценок Л (г), -^(-г) <С 1 есть величина порядка 0(у(г)Х/^/пТ) при X >Т и 0{у{г)/ХТ/л/пТ) при X < Т. В левой части (3.17) подынтегральная функция неотрицательна, поэтому справедлива оценка
гл-+1/ДП7Т
|Ф0М)|2 /?чч-^^1пТ) - Кх п_(Д1пТ) сИ <
V " ^ л/ГгГт УйГт
/л--1/Дьт

В левой части разность двух весовых функций на интервале [X — 1/уТпД, X + І/ДпТ] отделена от нуля абсолютной константой (1 — еП'с(2))/2. Следовательно эта оценка справедлива и для интегралов /т-ід/ЕГт ІФІ-М)!2^- Подставляя полученную оценку в (3.16), получаем требуемый результат.