Формулы коплощади на спрямляемых метрических пространствах и пространствах карно-каратеодори

• Автор: Карманова, Мария Борисовна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 171 с. : ил.

Contents

1. Формулы площади и коплощади на спрямляемых метрических пространствах

1.1. Основные определения

1.2. Вспомогательные результаты

1.3. Формула коплощади ( (X,

1.4. Формула коплощади (р: (У, с?у) —► (X, <^х))

1.5. Формула площади (случай р : (¥, йу) —> (X, (1%))

2. Необходимые условия для справедливости формулы коплощади

2.1. Нп~к-Спрямляемость прообраза точки

2.2. Критерий справедливости формулы коплощади

2.3. Множества, не влияющие на значения интегралов

2.4. Формула коплощади и структура образа
2.5. то-Коэффициент коплощади и структура образа
2.6. Формула коплощади и счетно-аддитивная функция множества
2.7. Обобщения и приложения
2.8. Контрпример
3. Метрическая дифференцируемость и аппроксимативная метрическая дифференцируемость. Обобщения результатов
3.1. га-Теорема Радсмахера
3.2. Формула площади
3.3. Метрический дифференциал и его применения
3.4. Дифференциальные свойства отображений классов Соболева

3.5. Приложения к отображениям класса Ф: формулы площади и коплощади, критерии
4. Формула коплощади на пространствах Карно — Каратеодори
4.1. Основные понятия и свойства
4.2. Свойства множеств уровня
4.3. Характеристическое множество
4.4. Множество вырождения
4.5. Формула коплощади

Известно, что для отображения р : Rn —* Rk существует понятие дифференциала как линейного отображения L : К" —> К* такого, что
<р(у) - <р(х) = L(y - х) + о{у - х).
В этом случае L = Dip(x).
В случае п < к, если <р — гомеоморфизм класса С1 и rankDip^x) = п, то в некоторой окрестности каждой точки х справедливо соотношение
(1 - o(l))|Zty(i)(j/ - z)I < My) - Якобиан
J(x, tp) =f lim ^ ^ = y/dct{D характеризует локальное искажение меры (здесь D(p*(x) — сопряженный оператор
к дифференциалу Dp(x)), и для инъективных отображений имеют место формулы площади и замены переменной:
I J(x,
f u(tp(x))J{x,ip)dx = f u(y)dHn{у), (0.0.3)
и у,(17)
где А — измеримое, U — открытое множество в Мп, а и — неотрицательная измеримая
функция на tp(U). (Здесь символ Нп обозначает n-мерную меру Хаусдорфа.)
В случае, когда п > к, а ц> — отображение класса С1, справедлива формула
коплощади
f tp{x)J(ct(Dtp[x)Dip',(x)) (Шп{х) = f d,Hk(s) f <р(и) d7in~k(u), (0.0.4)
U R* p-l(i)

Рассмотрим достаточно малый радиус куба (^, чтобы ограничение у>|дьпЕ было би-липшицсвым. Тогда при АГА2 = 0 очевидно неравенство Ф(Лі)+Ф(Л2) < Ф(Аіі)А2). Согласно [81], всякая функция множества, обладающая этим свойством, дифференцируема ПОЧТИ всюду. Вычислим производную Ф'(у). Рассмотрим точку у = Ух + 2/2 £ Б° и куб С^(у, г), г > 0, грани которого параллельны координатным осям, С)(у, г) С <5-Обозначим 0-1(г/і) = уцо- Тогда
<М<2(г/,г)п -С*0) = Яп~к(У2,г) х ^(<Зі(г/і,о,г) п е)
гдс(^п~к(у2,г) — куб в К”-*, а С?ь(уі,о>г) — куб в Е. По теореме Фубини имеем

(Нп~к х Нк)ЫЯ{У, г) п Б0)) = J с1(Нп-к х н*)(и)
С2п-|[(У2,г)хЩ(Эь(^1,о,»-)ПЕ)
нк{уШУ1,0,г)пъ))<тп-к^)
Qn~k (у2,г )
= г) П Е)) • Нп-Оп-к{у2,г)).
Тогда при вычислении производной Ф'(у) функции Ф в точке у 6 Б° получаем
(23.4,
- ;; Цш^(^(№.о,г)ПЕ))
1—,0 2 п-кгп~к г—*о 2 кгк
= ЛЛмп(<Р>У1,о))
ДЛЯ всех у 6 Б°. Заметим, ЧТО *7(^г|1Ъ 2/) = Л<Риу) Для почти всех у & Б. Следовательно, в силу [81] и теоремы Фубини для множества О верно
0< I J{^Pi,y)dy < I Лу>г, у) (1у = ! Ф'(у) <1у < Ф(Б0)
0 и0 о0
У <1{Нп~к хпк){и) = I <тп-к(у) I 11Нк{и>)= 0.
(Э“-^Х¥>(ОьПЕ) <3"-* *»(<2ьПЕ)
Учитывая (2.3.2), (2.3.1), (2.3.3), (2.3.4), а также последнее соотношение, выводим
1 ММБ(<р, у)) = £ / ^ПП~к х ^Х“) +
Е <бГ,<гг*х^лЕ)