Геометрические и экстремальные задачи для отображений с симметрией переноса

• Автор: Копанева, Лидия Сергеевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 85 с. : ил

§ 1. Область с симметрией переноса
§ 2. Отображение с симметрией переноса
§ 3. Формула Пуассона. Формула Шварца
§ 4. Дифференцируемость левнеровского семейства отображений по параметру
§ 5. Уравнение Левнера
§ 6. Примеры
§ 7. Интегральное представление отображения и ее производной 45 § 8. Функционалы, связанные со значениями отображений в
фиксированной точке
§ 9. Функционалы, связанные со значениями производной в
фиксированной точке
§ 10. Интеграл Кристоффеля-Шварца
§ 11. Библиография
Список теорем
Литература
Список научных трудов Л.С.Копаневой

Актуальность темы. Краткие исторические сведения.
Начало применению геометрического направления в теории голоморфных отображений было положено знаменитой теоремой о конформном изоморфизме односвязных областей, сформулированной Бернхардом Риманом в 1851 году в его докторской диссертации «Основы общей теории функций комплексной переменной» [29]. С того времени конформные отображения становятся и остаются до сегодняшнего дня одним из основных математических методов решения задач гидро- и аэродинамики, механики сплошной среды, теории упругости, многих разделов физики. Выявление возможности использования методов конформных отображений при решении экстремальных задач и возможность использования методов решения экстремальных задач в теории конформных отображений, установление нелинейности множества однолистных отображений и работы Кебе [20],[21] в начале прошлого столетия привели к созданию геометрической теории функций комплексного переменного, которая является одним из основных направлений современных математических исследований. В настоящее время имеется немало различных методов решения экстремальных задач в различных классах однолистных голоморфных отображений. В книге Г.М.Голузина “Геометрическая теория функций комплексного переменного” 1966 года издания (дополнение) называется восемь методов. Одним из основных и эффективных методов является метод, восходящий к

основополагающей работе К.Левнера 1923 года [26] и получивший название метода параметрических представлений (параметрический метод). С различными обоснованиями этого метода и его применениями можно познакомиться по книгам Г.М.Голузина [15], В.К.Хеймана [33], И.А.Александрова [1]. С другими методами, созданными для решения экстремальных задач, такими как вариационно-геометрический метод, метод площадей, метод внутренних вариаций, метод квадратичных дифференциалов, метод интегральных представлений и другими можно познакомиться по книгам и работам Г.М.Голузина [15], И.А.Александрова
[2], Н.А.Лебедева [25], В.Н.Дубинина [19], И.М.Милина [28],
В.Я.Гутлянского [16], М.Шиффера [34],[35], Дж.Дженкинса [18], К.И.Бабенко [10] и другим. Необходимо отметить большой вклад Томской школы математиков в развитии большинства из упомянутых методов, в создании новых объединенных методов и в решении многих трудных задач в геометрической теории функций. Отдельные этапы исследований этой школы отражены в докладе П.П.Куфарева на Третьем Всесоюзном математическом съезде в 1956 году [24], в дополнении к книге Г.М.Голузина [15] и монографии И.А.Александрова [2]. Это, прежде всего, вариационно-параметрический метод П.П.Куфарева [22].
Как правило, экстремальные задачи рассматриваются для отображений, заданных в единичном круге. В то же время некоторые вопросы механики сплошных сред, интерполяционные проблемы в теории голоморфных отображений и другие задачи вызвали интерес к рассмотрению полуплоскости в качестве канонической области определения. При рассмотрении экстремальных задач на классах однолистных голоморфных отображений большой интерес представляют классы отображений с дополнительным условием симметрии множества значений (симметрии относительно вещественной оси, симметрии вращения, симметрии переноса и другие). Несмотря на определенные

Наибольшее значение интеграл имеет при условии 1т{-е ,0л) = 1, то 1(0-—)
есть при я = е 2 . В ходе доказательства теоремы 14 уравнение Левнера
было записано в виде
^д(т',г) _А + р(т-г).ч(т-г) сіт 1 -р(г;2).у(г;2)
Отделяя здесь действительную часть и завершая переход от г к р, получим
ёТЬд = ^<1р, Кед(1у,т(р))|р=й)=°-1(0--)
Подставив я = е 2 , имеем
О /3
(1Кед = —с!р, Ке^((у,0) = 0.
-р‘
к 3/г
Отметим сначала, что Ке^(/у,-г) = 0 для в = — к ^ = и поэтому из равенства Л(т) = Лед((у,г) + /1п5(/у,г) имеем
1°~- 7Г
Л[т) = /1п5'(/у,г) = /1пе ^ 2 ' ■
Интегрирование уравнения Левнера с полненными Х(х) приводит к отображениям
/;,(г) = 2/1п

2 СОБ
V 2 у
/72(г) = -п + 2/ІП
Г -
-2 БІП

из класса Х1п, вносящим концевые точки диаметра, лежащего на мнимой оси.