Тригонометрические ряды и полиномы с неотрицательными частными суммами

• Автор: Белов, Александр Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Иваново
• Количество страниц: 269 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧАСТНЫМИ СУММАМИ

§1.0. Постановка задач и история их возникновения

§1.1. Основные идеи оценки сверху коэффициентов функциональных рядов с условиями

неотрицательности частных сумм

§1.2. Об оценках коэффициентов тригонометрических

косинус-рядов с неотрицательными частными суммами

1.2.1. Основные результаты

1.2.2. История результатов

1.2.3. Неулучшаемость результатов

1.2.4. Основные идеи получения оценок сверху частных сумм тригонометрического ряда через оценки снизу
§1.3. О тригонометрических косинус-рядах с
монотонными коэффициентами и равномерно ограниченными снизу частными суммами
1.3.1. Определения. Обозначения. Основные результаты
1.3.2. Необходимые и достаточные условия
§1.4. О коэффициентах тригонометрических рядов
с неотрицательными частными суммами
1.4.1. Постановка задачи, формулировка результатов и обсуждение
1.4.2. Доказательства теорем 1.4.1 и 1.4.2 и следствия 1.4.1..
1.4.3. О поведении частных сумм тригонометрического ряда
с неотрицательными частными суммами

§1.5. О неулучшаемости доказанных оценок сверху частных
сумм тригонометрического ряда через оценки снизу
* §1.6. О тригонометрических рядах с
неограниченными снизу частными суммами
1.6.1. Постановка задачи и история вопроса. Формулировка
и обсуждение основного результата
1.6.2. Доказательство основной теоремы параграфа
§1.7. О тригонометрических рядах с
неотрицательными частными суммами,
которые не являются рядами Фурье-Лебега
1.7.1. Постановка задачи, формулировка результатов
и обсуждение
1.7.2. Доказательство теорем 1.7.2 и 1.7.
§1.8. О тригонометрических рядах с лакунами, неотрицательность частных сумм которых означает, что они являются рядами Фурье-Лебега
1.8.1. Формулировка результатов и обсуждение
1.8.2. Доказательство теоремы 1.8.
1.8.3. Доказательство теоремы 1.8.
§1.9. О переносе основного результата на
кратные тригонометрические ряды
§1.10. Об одной экстремальной задаче
§1.11. Об оценках коэффициентов конкретных функциональных
рядов с неотрицательными частными суммами

ГЛАВА 2. О ПРИМЕРАХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧАСТНЫМИ СУММАМИ
§2.0. Введение. Основной результат. История вопроса
§2.1. Обозначения и формулировка результатов

§2.2. Обозначения и некоторые тождества
§2.3. Основная идея метода оценки снизу частных сумм тригонометрического косинус-ряда
с монотонными коэффициентами
§2.4. Доказательство теоремы 2.1.
§2.5. Метод оценки снизу частных сумм
специальных тригонометрических рядов
§2.6. Доказательство теоремы 2.0.
ГЛАВА 3. ОБ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧАХ, СВЯЗАННЫХ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ ПОЛИНОМАМИ
* §3.0. Введение. Постановка задачи
§3.1. Основные результаты. Формулировки и обсуждение
§3.2. Доказательство теоремы 3.1.
§3.3. Схема доказательства теоремы 3.1.
§3.4. Доказательства лемм 3.3.2 и 3.3.
§3.5. Доказательства леммы 3.3.
§3.6. Доказательства леммы 3.3.
§3.7. Доказательства теорем 3.1.2 и 3.1.3 и следствия 3.1.3.
* §3.8. Доказательства следствий 3.1.1 и 3.1.
§3.9. Доказательство и обсуждение теоремы 3.1.
ЛИТЕРАТУРА

справедлива оценка
тах { 5п(т) : I 6 Е1’ } < Ак с0 ( П+п )
где а € (0,1) корень уравнения (9), а абсолютная положительная постоянная А определяется формулой (10).
Отметим также, что индукцией по величине кратности можно получить и кратные аналоги следствия 1.2.1 и даже теорем 1.2.10, 1.2.11 и 1.2.12, но формулировки будут уже более громоздкими, а новых идей по сравнению с теоремой 1.9.1 не требуется. Поэтому мы ограничиваемся в § 1.9 только доказательством теоремы 1.9.1.
В §1.10 предыдущие результаты рассматриваются как решения соответствующих экстремальных задач, т.е. приводятся новые трактовки. Доказывается также, что теорема 1.2.5 и следствие 1.2.2, по существу, равносильны.
В §1.11 даются оценки коэффициентов конкретных функциональных рядов с неотрицательными частными суммами.
В §§ 1.2 -1.10 рассмотрен достаточно подробно частный случай (7). В §1.11 кратко рассмотриваются другие частные случаи теорем из
Прежде всего в §1.11 доказывается
Теорема 1.11.1. Пусть Д > 0, сегмент I = [0, Д], функция / 6 0(1), п - произвольное натуральное число и действительные числа {^•}£=о > {а<ь}£=о удовлетворяют условиям (5) и

и всех т = 1,..., п — 1,

Тогда ао > 0 и верна оценка