Аналитичность в пространстве максимальных идеалов инвариантных алгебр функций

• Автор: Панкратьева, Татьяна Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 102 с.

1 Веса на коммутативных полугруппах
1.1 Веса на полугруппах
1.2 Полные полугруппы
1.3 Теоремы о продолжении
1.4 Относительный спектр
1.5 Полухарактеры
1.6 Вполне упорядоченные полугруппы
2 Инвариантные алгебры
2.1 Необходимые сведения
2.2 Идемпотенты в М$
2.3 Полиномиальные расширения инвариантных алгебр
2.4 Внутренние автоморфизмы инвариантных алгебр функций
3 Аналитичность в пространстве максимальных идеалов инвариантных алгебр функций
3.1 Дефекты полугрупп
3.2 Теорема Радо и инвариантные алгебры
3.3 Теорема Римана для инвариантных алгебр
Литература

Теория равномерных алгебр, как специальная ветвь теории банаховых алгебр, стала интенсивно развиваться в середине прошлого века зарубежными и советскими математиками. В рамках этой теории исследовались, в частности, свойства алгебр функций, заданных на тех или иных конкретных множествах.
Теория равномерных алгебр создана на базе алгебры, функционального анализа, теории функций, она обогатила математику не только новыми задачами, но и позволила объединить ряд теорий, которые, на первый взгляд, не имеют ничего общего. Например, теорию непрерывных функций на единичной окружности комплексной плоскости, имеющих аналитическое продолжение в единичный круг (диск -алгебра) и теорию инвариантных алгебр функций на компактных абелевых группах. Отметим, что последняя теория, фактически, берет начало с основополагающей работы Р. Аренса и И. Зингера "Generalized analytic function" (см.[30]). В этой работе был предложен функционально — алгебраический подход к изучению почти - периодических аналитических функций.
Теория обобщенных аналитических функций, начатая Р. Аренсом и И. Зингером, получила свое развитие в работах Р. Аренса [27], Г. Хельсона и Д. Лауденслагера [35, 36], К. Гофмана [12, 39], Ф. Форелли [31], К. де Лю и И. Гликсберга [40], В. Рудина [44], Т. Гамелина [3]. В этих работах доказывались утверждения, аналогичные классическим теоремам теории аналитических функций в единичном круге, выявлялись новые свойства почти периодических аналитических функций.
На протяжении нескольких последних десятилетий развитие этой теории вышло за рамки обычного обобщения классических результатов. Стали исследоваться инвариантные алгебры функций на

группах Ли, на однородных областях, устанавливаться связи между свойствами, представлениями групп и алгебрами, порожденными этими представлениями. Эти исследования представлены в работах М. Л. Аграновского [1], Е. А. Горина и В. М. Зсшотаревского [6, 7, 10], В. М. Гичева [4, 5], С. А. Григоряна [13, 14, 15], Т. В. Тонева [46, 48, 50], А. Л. Розенберга [22], А. Н. Шерстнева [45].
Данная работа выявляет новые свойства инвариантных алгебр функций. Основным объектом исследования является равномерная алгебра Аз, которая строится следующим образом.
Пусть (3 - компактная абелева группа, группа характеров которой изоморфна аддитивной группе Г, наделенной дискретной топологией. Пусть для каждого а € Г, х° ~~ соответствующий характер группы (3. Обозначим через а нормированную меру Хаара группы (3 и через Аг((3, (1а) - пространство измеримых и интегрируемых функций по мере а. Каждая функция / € Ь1{(3, <1а) представляется в виде формального ряда Фурье
называется спектром функции /. Пусть 5 такая подполугруппа группы Г, что 0 е 5 и 5 + (—5) = Г. Основным объектом исследования является алгебра Аз, состоящая из всех тех непрерывных функций / € (3((3), спектр которых содержится в в. Естественно, что между свойствами полугруппы <3 и свойствами алгебры Аз существует тесная связь.

-а - тый коэффициент Фурье функции /. Множество
Зр/ = {а € Г : 7^ 0}
Доказательство. Поскольку (7 - граница Шилова для Ь1 (в) и равномерное замыкание Ь1^) на Є есть А^, из общей теоремы банаховых алгебр следует а) и Ь). Свойство а) следует из леммы 2.1.1 и общего свойства аналитических функций. □
Везде в дальнейшем мы будем отождествлять тиірт- полухарактер на 5 с соответствующим мультипликативным функционалом на алгебре А$ и писать
т = <рт.
Для дальнейшего укажем еще несколько свойств алгебры Л5.
Пусть А— равномерная алгебра на некотором компакте X. Подмножество і*1 компакта X называется множеством антисимметрии для алгебры А, если каждая функция из А, вещественная на Р, постоянна на этом множестве.Алгебра А называется антисимметричной, если компакт X является множеством антисимметрии для А, другими словами, каждая вещественная функция из А является постоянной.
Каждое множество антисимметрии содержится в максимальном множестве антисимметрии, которое является р -множеством (определение р -множества см. § 2), и компакт X разбивается на семейство непересекающихся максимальных множеств антисимметрии относительно
А. Согласно теореме Бишопа-Шилова (см. [3], стр. 88 ), если сужение некоторой функции из С{Х) на каждое максимальное множество антисимметрии принадлежит сужению алгебры А на это множество, то /є А.
Приложение этого результата к алгебре А$ приводит к следующему результату: пусть А0 - подалгебра всех вещественных функций алгебры Ад над полем вещественных чисел К. Так как А,§ инвариантна относительно сдвигов, то и алгебра А0 инвариантна относительно сдвигов. Пусть
(?і = {аЄ5:а + Ь = 0 для некоторого Ь Є 5},