Дискретные аналитические функции и ряды Тейлора

• Автор: Данилов, Олег Александрович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 106 с.

Оглавление
Введение
1 Дискретные аналитические функции одного
комплексного переменного и ряды Тейлора.
1.1 Определение и примеры дискретных аналитических функций
1.2 Системы псевдостепеней {рк{^)}^=
1.3 Соотношение между аналитическими
и дискретными аналитическими функциями
1.4 Примеры разложений дискретных
аналитических функций в ряд Тейлора
2 Дискретные аналитические функции многих
комплексных переменных и ряды Тейлора.
2.1 Основные определения и обозначения
2.2 Голоморфные функции в С", принимающие
заданные значения на целочисленной решётке
2.3 Многомерная формула Тейлора для целой дискретной аналитической функции

3 Приложения теории дискретных аналитических функций к разностным уравнениям.
3.1 Дискретные аналитические функции первого и второго рода. Уравнение Даффина
3.2 Ряд Ньютона для уравнения Даффина
3.3 От экспоненты к уравнению
3.4 Линейное уравнение первой степени их + иу = 0 и его дискретный аналог
Литература

Введение
Актуальность темы
Понятие дискретной аналитической функции на гауссовой решетке С = Ъ + г Ж была введено Р. Ф. Айзексом [1], 1941. Он классифицировал эти функции на функции первого и второго рода и исследовал функции первого рода.
Далее Ж. Ферран [2], 1944 и Р. Дж. Даффин [3], 1956 создали теорию дискретных аналитических функций второго рода. Важные результаты, связанные с поведением дискретных аналитических и гармонических функций на бесконечности были получены С. Л. Соболевым [4], 1965. Новые плодотворные аналитические и комбинаторные идеи принес Д. Цайльбергер [5], 1977. Их развил и обобщил А. Д. Медных [6], 1982. Другой подход к дискретным аналитическим функциям был предложен У. Тёрстоном в работе [7], 1985, где была получена эффективная, быстросходящаяся аппроксимация в теореме Римана для конформных отображений односвязных римановых поверхностей.
Все вышеуказанные результаты основывались на различных непосредственных линейных и нелинейных дискретизациях уравнений Коши — Римана. Напомним [1], что дискретная аналитическая функция

Следовательно, по определению dk
'Kk{z) = ^e&z)^0= £ c(W)|^(e^) |€-
а=-у v '

Для доказательства теоремы, мы заметим что поскольку F £ A{Ur) и | z | = тах{ х, у } < R. то степенной ряд
°о г к
^) = Еа* (гй)
сходится для каждого s, — у < s ^ х.
По лемме 5 ассоциированный дискретный ряд
ОС ОО " X /
f(z)=Е a^k{z) = Еак Е с(*» ?/’s) (
fc=0 fc=0 .8=—у

Х °° / fc я
= <г c(x,?/,.s)E«* М-) =Е
s=—y к=0 ' ' s——у
с(х, 2/, s)F(s)
сходится абсолютно на <5я как конечная сумма абсолютно сходящихся рядов.
Установим дискретную аналитичность /(г) на С}р. Для каждого единичного квадрата {г, г + 1, г + 1 + г, г + і} Є имеем равенства
д/{г) = /(г) + г/(г + 1) - /(г + 1 + г) - і/(г + г)
ОО ОО ОО
= ^2 ак7Гк(г) + г ^ акттк(г + 1) - Чк^к{г + 1 + г)

ОО ОО
- і ^2 akTtk{z + г) = Е а'ь(7Г*(-г) + k(z + 1)
к=О к=О

- гтгДг: + 1 + г) - TTk(z + г)) = ^ ак(дпк(г)) = 0.