Некоторые вопросы теории устойчивости классов липшицевых отображений

• Автор: Коробков, Михаил Вячеславович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 132 с.

Введение
Глава I. Устойчивость классов липшицевых отображений, порожденных выпуклыми компактными множествами в Г(Кп,Кт)

§1.1 Обозначения. Постановка задачи устойчивости

§1.2.Некоторые теоремы устойчивости для случая про.

извольных размерностей пит.

§1.3.Слабая связность множеств

§1.4. Устойчивость классов вектор-функций одной переменной (п = 1)

§1.5.Устойчивость классов вещественных функций нескольких переменных (т = 1)

§1.6.Устойчивость классов решений систем линейных дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка
Глава II. Устойчивость классов липшицевых отображений, порожденных квазивыпуклыми множествами. Теоремы Дарбу и Лагранжа. Устойчивость в теореме Дарбу

§2.1.Предварительные сведения. Основная теорема устойчивости

§2.2. Устойчивость и цс-связность
§2.3.Теоремы Дарбу и Лагранжа для вектор-функций 56 §2.4.Устойчивость классов аффинных отображений. Устойчивость в теореме Дарбу
Глава III. Классификация устойчивых классов липшицевых функций одной переменной
§3.1.Формулировка основных результатов
§3.2.Некоторые примеры
§3.3. Доказательство теорем §3.1
Литература

Турезе! Ьу Дуд
ВВЕДЕНИЕ
Теория устойчивости классов отображений играет значительную роль в современном анализе. Одним из ведущих направлений в ней являются исследования по устойчивости плоских и пространственных конформных отображений. После ранних работ М. А. Лаврентьева [37-40], основные результаты здесь были получены П. П. Белинским [2-5] и Ю. Г. Решетником [41-51]. Среди остальных публикаций по данной тематике отметим статьи В. И. Семенова об оценках отклонения квазиконформного отображения от конформного [52 -56]. Из недавних работ по устойчивости конформных отображений упомянем результаты для четных размерностей при минимальных предположениях о степени суммируемости производных (на базе подхода Т. Иванца-Г. Мартина, см., например, [63, 73]), а также построение соответствующей теории для случая неевклидовых пространств »— групп Гейзенберга (см., например, [12]).
Альтернативное направление исследований было предложено Ф. Джоном в его работах по устойчивости класса изометрических преобразований [64-66]. Более сильные теоремы устойчивости для изометрий были получены в [50], где доказана устойчивость в Лу1-норме в целых областях весьма общего вида.
Говоря в общем, на этих направлениях устанавливается близость (в С- или М): нормах) (1+£)-квазиконформных (квазиизометриче-ских) отображений к конформным (соответственно изометрическим).
Близкие по духу исследования были проведены Л. Г. Гуровым для класса псевдоизометрий [8].
Классы конформных и изометрических отображений совпадают с классами решений дифференциальных соотношений д (х ) € М+ЯО(п) и д'(х) 6 6,0(гг) соответственно (ё’(х) —дифференциал отображения
д). Множества Ж+50(п) и 5'0(п) являются наиболее характерными

примерами так называемых квазивыпуклых множеств, так что упомянутые исследования по устойчивости примыкают к теории квази-выпуклости, берущей начало от работ Ч. Морри [70, 71] и интенсивно развивавшейся в последнее время усилиями Д. Болла, С. Мюллера, В. Шверака и др. (см., например, [58, 61, 72]). В последней теории имеются некоторые аналоги теорем устойчивости для классов решений дифференциальных соотношений д'(х) 6 Д почти всюду (п. в.) с квазивыпуклым множеством <Д
Новое развитие теория устойчивости получила благодаря созданию А. П. Копыловым общих подходов к изучению проблем устойчивости классов отображений, названных им концепциями Д и ш-устойчивосги [18-20]. Первая из них восходит к теории устойчивости конформных отображений, в го время как вторая имеет дело с классами лшшшцевых отображений ж регулярным образом согласуется с упомянутой теорией Ф. Джона. А именно, ы-устойчивость класса изометрических отображений и устойчивость этого класса по Ф. Джону суть одно и то же (см. [19]). Понятия £- и ю-устойчивости означают, по существу, что из локальной близости отображения / к отображениям изучаемого класса © следует его близость к ним в С-норме. В частном случае, когда отображение / дифференцируемо, локальная дьблизость / к отображениям класса © эквивалентна малости расстояния (абсолютного) от дифференциала /'(х) до множества линейных отображений класса 0 (см. точную формулировку этого утверждения в лемме 1.1.1). Отметим, что в теории ^-устойчивости локальная близость дифференцируемого отображения / к отображениям класса © равносильна малости относительного расстояния от $'{х) до множества линейных отображений из © (см. [20]).
Вопросам ^-устойчивости классов отображений посвящен ряд работ А. П. Копылова и Н. С. Даирбекова (9—11, 20-24]. В этих работах, в частности, были доказаны теоремы о ([-устойчивости клас-

полагая
а Ь 3 е-цепъ 01 = а, аг,..., а*, = 6, щ € б, и ||а» — СЦ+хЦ < £■
(1.5.1)
Через б), г = 1,... ,кЕ, обозначим возникающие при этом классы
эквивалентности, через 6е (а) — класс эквивалентности, содержащий
точку а € б, и пусть 6(а) = 6°(а) • р) 6£(а). Из теоремы Кантора

о континуумах следует, что 6(а) совпадает с компонентой связности множества б, содержащей точку а.
Ясно, что каждый класс эквивалентности б| является компактным множеством, причем
ббб(б?) С 566(6). (1.5.2)
Здесь и в дальнейшем б'бб(.С) означает множество компонент связности множества V.
Для описанных выше понятий несложными рассуждениями можно доказать также такое утверждение.
Лемма 1.5.2. Для всякого компакта, б С £(Ж”,Кт) существует функция х '■ (0, +оо) —> (0, +оо), удовлетворяющая следующим условиям:
1) х(е) 0 при е -> 0;
2) для любых е > 0 и точки а 6 б найдется точка Ъ £ б такая, что класс эквивалентности бе(а) лежит в х(е)~оболочке компоненты связности 6(6).
Следующая лемма представляет собой признак нормальности классов З'б), справедливый для любых размерностей пит.
Лемма 1.5.3. Пусть б — непустой компакт в £(К’г,М"г), все компоненты связности которого выпуклы. Тогда класс отображений 3(6) является нормальным.