Многомерные интегральные операторы с вырожденным символом в пространствах суммируемых и обобщенных функций

• Автор: Баран, Елена Прокопьевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Ростов-на-Дону
• Количество страниц: 107 c. : ил

Глава I. О разрешимости многомерного интегрального
уравнения Фредгольма третьего рода. Ю
§ I. Предел в среднем и частные производные в
среднем. Ю
§ 2. Пространства основных и обобщенных функций.
§ 3. О нормальной разрешимости уравнения Фред
гольма третьего рода в пространстве ЗД и в пространствах обобщенных функций.
§ 4. Теорема об условиях разрешимости многомер
ного интегрального уравнения Шредгольма третьего рода.
§ 5. Теоремы о разрешимости уравнения Фредголь
ма третьего рода в пространствах обобщен -ных функций.
§ б. Некоторые замечания
Глава 2. Об ограниченности многомерного сингулярно
го оператора в пространстве § I. Предварительные сведения
§ 2. Доказательство теоремы об ограниченности'
простейшего многомерного сингулярного оператора при ІЇІ
§ 3. Доказательство теоремы об ограниченности
простейшего многомерного сингулярного оператора при произвольном Ж.
§ 4.
Глава 3.
§ І. § 2.
§ 3. § 4.
Теорема об ограниченности многомерного сингулярного оператора с характеристикой, зависящей от полюса.
О разрешимости многомерного сингулярного уравнения в исключительном случае. Многомерный сингулярный оператор на сопряженном пространстве.
О нормальной разрешимости многомерного сингулярного оператора с таым
символом в пространстве и в пространствах обобщенных функций. Теорема о разрешимости многомерного сингулярного уравнения с вырожденным символом.
Примеры
Литература.

Вопросу разрешимости интегральных уравнений посвящены многие работы советских и зарубежных математиков /см.,напр.,моно- ' графии [I] - [б]/. Важное место среди них занимают исключительные случаи, к которым относят так называемые уравнения Фредголь-ма третьего рода и сингулярные интегральные уравнения с вырожденным символом. Отметим, однако, что по сравнению с одномерными интегральными уравнениями такого типа, многомерные интегральные уравнения в исключительном случае являются еще мало изученными. Наиболее завершенные результаты получены для уравнения
Р'1Ф(0)Ри.=| , | е ХДРЛ, /I
где Р - преобразование Фурье, впервые такое уравнение при условии, что символ ф(0) обращается в ноль, начали исследовать В.Г.Мазья, Б.А.Пламеневский [7] - [в]. Ими были указаны пространства обобщенных функций, в которых уравнение /I/ разрешимо при всех | , описано общее решение в таких
пространствах и выделены условия, обеспечивающие единственность решения. Дальнейшие исследования в этом направлении проводились в статье В.Г.Мазьи, Б.А.Пламеневского, Ю.Е.Хайкина [9], а также в работах М.Лоренпа [ю] - [дз]. Заметим, что каждый раз при этом предполагалось, что символ сингулярного оператора не зависит от полюса или слабо зависит от него. Последнее означает, что символ Ф(х,0) остается постоянным при больших по модулю , X
В ряде работ [14] - [22] исследовалась разрешимость краевых задач для вырождающихся псевдодифференциальных операторов. Найдены условия, при которых такие задачи являются нетеровыми

п.>2
если п > А, , в качестве основного пространства следует взять
= {шх) = хГ‘оС +
%1 >%•{
+ хГ11 ,.. .,Хп)х; + х Г Н') (Ж15х},... ,ж„) X* +
1-и |-и
^ м . .
+ I ^ ^(зс».---.х,)х11х{ ,
ь=0 |=0 <>
^ 1 ^ ’ Ч ~ ФУННЦИИ суммируемые со степенью р I ,
а в качестве пространств обобщенных функций пространства
^(и^(х)б Ц.т^},
= {х"1т1хГ'!'(}№ +
^ с-И) "ЧоЛЛЛ
+ 40Ь (Х1)^(Х1г..,Х„)+> §
^ еХ^п'цдцФ},
оС: ^ 4 - (функции суммируемые со степенью й/ I