Формулы Фейнмана для полугрупп Шредингера, порождаемых самосопряженными расширениями операторов второго порядка

• Автор: Толстыга, Диана Сергеевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 74 с.

Содержание
1 Введение
2 Формулы Фейнмана, порождаемые самосопряженными расширениями оператора Лапласа
2.1 Обозначения
2.2 Непрерывность отображения .Р
2.3 Ограниченность по норме оператора Ра(£)
2.4 Замыкаемость сильной производной оператора Ра(£)
3 Формулы Фейнмана для диффузии частицы с переменной
массой на прямой.
3.1 Формулировка задачи
3.2 Непрерывность отображения Рт
3.3 Ограниченность по норме оператора Рг(£)
3.4 Замыкаемость сильной производной оператора Рг(£)
4 Формулы Фейнмана для диффузии частицы с переменной
массой на полупрямой.
4.1 Формулировка задачи
4.2 Непрерывность отображения
4.3 Ограниченность по норме оператора Рт(£)
4.4 замыкаемость сильной производной оператора .Рг(£)

1 Введение
Формулы Фейнмана дают представление решения задачи Коши для уравнения типа Шредингера: Ф;(£) = Н{Ф(£)) (в частном случае типа теплопроводности) с помощью предела конечпократных интегралов по декартовым степеням фазового (в частном случае конфигурационного) пространства. Полученный предел, задающий явное представление однопараметрической унитарной группы еин (в частном случае полугруппы еш, в литературе часто называемой полугруппой Шредингера) с помощью интегральных операторов, интерпретируется как интегралы Фейнмана, а полученное выражение, в свою очередь,называют формулой Фейнмана.
Один из наиболее общих способов получения таких формул состоит в обосновании равенства (Ф(£) ^) ехрфЬНт)ф0 = Итп^со{еьН/п)т^,фо . Вообще говоря, ехр(Шт) ф (еш)т ни при каком т- этот факт вынуждает использовать переход к пределу. Стоит отметить, что. в отличие от формул типа Фейнмана-Каца с их функциональным интегралом, в формулах Фейнмана не используется явным образом никакая мера на пространстве траекторий в конфигурационном пространстве. Более того, получив формулы Фейнмана в виде представлений решений уравнений функциональными интегралами, сами эти представления, в свою очередь, стоит трактовать как формулы Фейнмана-Каца, а именно, обосновав равенство еШтфо — Нтп_00(е^/")”фо или, более общо, вида еШтфо = Цтп_+сс(^1(£/гг))п1/’о для некоторой легко исследуемой функции К неотрицательного вещественного аргумента со значениями в пространстве интегральных операторов, уже можно интерпретировать допредельные конечнократные интегралы, как интегралы, аппроксими-

рующие интегралы по траекториям; если эта интерпретация возможна, то это приводит к получению формулы Фейнмана-Каца. Таким образом, формула Фейнмана- Каца, в отличие от Формулы Фейнмана, определяется как интеграл по траекториям в конфигурационном пространстве некоторой эволюционной системы, а не как некоторый предел конечнократных интегралов; то есть доказательство М. Каца представления решения уравнения теплопроводности, хотя и использует идею предела конечнократных интегралов, является по существу ’вероятностной интерпретацией’ формул Фейнмана. Р. Камерон и Ю.Л. Далецкий показали, что функциональный интеграл Фейнмана не может быть определен как интеграл по счетноаддитивной мере на пространстве траекторий. Во многом эти результаты определили направления дальнейших исследований. Альтернативное определение интеграла Фейнмана — с помощью равенства Парсеваля было предложено в работах В.П. Маслова, А.М. Чеботарева, С. Альбеверио и Р. Хег-Крона, однако в их работах интеграл Фейнмана был задан всего лишь на множестве функций, являющихся преобразованиями Фурье счетноаддитивных мер на гильбертовом пространстве, что значительно сужает область действия "формул Фейнмана". Стоит также отметить книгу О.Г. Смолянова и Е.Т. Шавгулидзс, которая до настоящего времени остается наиболее полным изложением математической теории интегралов Фейнмана (в этой книге содержатся четыре различных определения континуального интеграла). Авторы получают представления решения уравнений типа Шредннгера по траекториям в конфигурационном и фазовом пространствах в более широком классе начальных данных и потенциалов.
Э. Нельсон заметил, что формальное доказательство формулы Фейнмана сводится в рамках его идеи к применению формулы Троттера и тем самым
Предложение 2.10. Сильная производная в нуле оператора ^(0)^ (0) соответствует гамильтониану свободной частицы, на заданной одномерной области определения: [(і'гХ^І'іСОЛі^ : V —>■ [(-р2)(і)£іХ)]*=о(Р) совпадает с оператором А , //(ж) Є Т>.
(Константами мы пренебрегаем, поскольку они не играют никакой роли в дальнейших рассуждениях).
Доказательство. Для определенности считаем, что о > 0. (случаи а < О, а — +оо рассматриваются аналогично).
В силу того, что область определения оператора мы задавали следующим образом:
V = {/ Є £2(0,оо),Д - абсолютно непрерывна, /" -равна нулю в некоторой окрестности нуля, о/(0) = /'(0)}, то можно показать, что для достаточно малых і верно, что (£і(і)/)(х) = /(ж) для ж > 0. В самом деле, для начала стоит заметить, что /(ж) линейна в некоторой окрестности нуля. Без ограничения общности будем считать, что она имеет вид/(ж) = с(1 + аж). Принимая во внимание граничные условия, получаем:
Ш 1о^ + ах)
ШИ = —— , , 7 --------ЛШ =
1 + аъ
= (с ■ 1 + с • аі)( ) = с(1 + ах)
1 + аі
Здесь мы пренебрегли вторым членом суммы, определяющим оператор і7!(і) в силу того, что рассматривается достаточно маленькая окрестность в которой ОН обнуляется ПО определению. Кроме всего прочего і7! (і) / определен на всей прямой. Введем некоторую функцию /(ж), совпадающую справа от