Аппроксимационные свойства триангуляций поверхностей

• Автор: Широкий, Александр Александрович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Волгоград
• Количество страниц: 92 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Априорные оценки погрешности аппроксимации градиента
1.1 Основные понятия и вспомогательные утверждения
1.2 Оценка погрешности аппроксимации градиента функции градиентом кусочно-линейной функции для симплекса
2 Аппроксимационные свойства триангуляций
2.1 Триангуляции Делоне плоских областей
2.2 Остроугольные триангуляции в пространстве
2.3 Триангуляции с углами, отделёнными от нуля
2.4 Оценка погрешности аппроксимации градиента для решений
эллиптических уравнений
2.5 Триангуляции поверхностей
3 Обобщения условия Делоне
3.1 Триангуляция Делоне относительно семейства выпуклых множеств
3.2 Триангуляция Делоне относительно метрики
3.3 Триангуляция Делоне п-мерных гиперповерхностей в Мп+1
3.4 Триангуляция Делоне с коэффициентом сжатия сфер

Работа выполнена при финансовой поддержке грантов РФФИ (проект 11-01-97021-р_поволжье_а) и факультета математики и информационных технологий ВолГУ.
Введение
По своей тематике данная диссертационная работа выполнена на стыке нескольких разделов анализа. Главным вопросом исследования является вопрос об оценках степени аппроксимации производных гладких функций, заданных на поверхности, производными кусочно-линейных функций. Данная тематика тесно связана как с теорией расчётных сеток, так и с вопросами анализа, берущими своё начало от классического примера Карла Шварца (1890, [12]). Основным объектом исследования являются триангуляции поверхностей.
Различные разбиения и, в частности, триангуляции часто используются в задачах численного моделирования для построения расчётных сеток. Во многих случаях расчётные сетки применяются для построения аппроксимации некоторой известной функции. В этом случае встаёт вопрос о точности построенной оценки, а также об устойчивости используемой разностной схемы. Например, в работах С. К. Годунова и Г. П. Прокопова ([14], [15]) нерегулярные сетки используются для аппроксимации первых производных в составе эллиптических дифференциальных уравнений Лапласа, а также формулируются условия, которым должна удовлетворять сетка для обеспечения устойчивости результата численного моделирования. В более поздней работе С. К. Годунова, В. Т. Жукова, О. Б. Феодоритовой [16] нерегулярные сетки применяются для расчёта инвариантных подпространств для симметрических гиперболических систем.
Однако первым заметным результатом, характеризующим зависимость качества приближения от способа построения разбиения стоит признать классический пример Карла Шварца (1890, [12]), известный также как “сапог Шварца”. Он представляет собой семейство приближений кругового
цилиндра с помощью полиэдральных поверхностей. Предельная площадь этих приближений может быть сделана произвольно большой. Эта конструкция позволила увидеть несостоятельность определения площади поверхности как точной верхней грани площадей вписанных в неё полиэдральных поверхностей, в противоположность тому, что длина кривой может быть определена как точная верхняя грань длин вписанных в неё ломаных.
На самом деле геометрические параметры нерегулярной сетки оказывают непосредственное влияние на качество аппроксимации, вплоть до наличия/отсутствия сходимости. Геометрические свойства элементов нерегулярных сеток рассмаривались, например, в работах таких математиков, как
S. Korotov (работа [5]), V. A. Garanzha (работа [3]), V. Т. Rajan (работа [7]) — в последней сформулирован ряд результатов, касающихся триангуляции Делоне в n-мерном евклидовом пространстве. В работе [6] авторами (H. Pottmann, R. Krasauskas, В. Hamann, К. Joy, W. Seibold) исследуются кусочно-аффинные аппроксимации квадратичных функций в I" и в том числе рассматривается вопрос об оптимальном приближении (с максимальными линейными участками, но при этом с приемлемой точностью) в R2 и отчасти в М3. J. R. Shewchuk в работе [8] поднимает вопрос о хорошем конечном линейном элементе в Е2 и в R3 с точки зрения аппроксимации градиента функции. В работе Е. А. Пабат и В. А. Клячина ([22]) исследуются свойства кусочно-линейных интерполяций поверхностей уровня функций, заданных на триангуляциях. Было показано, что для обеспечения приближения значений подойдёт любая триангуляция, однако сходимость первых производных наблюдается только для триангуляций, удовлетворяющих условию (2.5), приведённому в настоящей работе на странице 49.
При решении ряда практических задач возникает необходимость в построении триангуляций различных поверхностей. В частности, В. М. Миклюко-вым в работе [34] исследовалась проблема триангуляции локально липшице-вой поверхности. Учитывая “популярность” триангуляции Делоне естественным, казалось бы, образом возникает желание построить соответствующее обобщение на случай поверхностей. Однако, несмотря на то, что алгоритм построения триангуляций Делоне в евклидовых пространствах произвольной конечной размерности был предложен ещё в 1934 году самим Б. Н. Делоне (работа [1]), известные алгоритмы построения триангуляции поверхно-

3/(<£)-ц(У/,<%) sin ifs
Теорема доказана.
Теорема 1.2.2. Пусть вершины треугольника S лежат на двумерной гладкой поверхности F С D С Мп. Предположим, что угол между плоскостью этого треугольника и касательной плоскостью к поверхности в

точке ро равен а, 0 < а < —. Если функция f G Cl(D), то выполнено:
|V/(po) - VL/(po)| < 3/ , 4) +sinasup |V/(æ)|.

Здесь V обозначает градиент дифференцируемой функции в метрике поверхности F.
Доказательство. Искомое неравенство напрямую получается из теоремы 1.2.1 и леммы 1.2.4.
Теорема 1.2.3. Пусть S С D — некоторый тетраэдр с заданной в нём аффинной функцией Lf(x), построенной для некоторой непрерывно дифференцируемой в области D функции f(x). Обозначим через в$ величину угла между вектором Р2 — ро и двумерной гранью, лежащей напротив вершины Р2, через fs величину угла при вершине р треугольника PoPiPz и через 4 длину максимального ребра тетраэдра S. Тогда имеет место оценка:
8/(4)
(V/Ы - VLf(p0)y

sin fs sin 6 s
Доказательство. Как и при доказательстве теоремы 1.2.1 заметим, что величина к из леммы 1.2.3 равна 2, а индексы, используемые в сформулированной в той же лемме оценке принимают значения т = 0, г = 2, / = 1. Представим левую часть рассматриваемого неравенства в следующем виде:
(V/Ы - VL/(p0))J

df(p0) dLf(po)

+ щ (V/(po) - VL/(po))|
Далее оценим первое слагаемое:
df(po) dLfipo)

sin 9 s
(Аю + Ыю)| + |тг2 (V/(pi) - VL/(pi)) I)